Determinantes de matrices de bloques con bloques conmutados

Question

En Wikipedia, he leído que

$$\det \begin{pmatrix} A & B\\B& A\end{pmatrix} = \det(A+B) \, \det(A-B)$$

si $A$ y $B$ de viaje. ¿Se mantiene esto incluso si $ A $ y $ B$ no son invertibles?

Estuve poco tiempo intentando dar un ejemplo contrario, pero funcionó para las matrices no invertibles que elegí. Tengo curiosidad por saber si esto es realmente cierto. ¿Alguien tiene una prueba de ello?

Answer 1

No necesitamos suposiciones sobre $A,B$ excepto que tienen la misma dimensión. Entonces aplica la operación básica de restar un conjunto de filas al conjunto de las otras filas y también sumar un conjunto de columnas con el conjunto de las otras columnas, lo que no cambia el determinante. Simplemente obtendrás:

$$ \det \begin{pmatrix} A & B\\B& A\end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} A & B\\B-A& A-B\end{pmatrix}\\ =\det \begin{pmatrix} A+B & B\\0& A-B\end{pmatrix} =\det(A-B)\det(A+B) $$

Answer 2

Desde una perspectiva más general, ya que $A$ y $B$ conmutar, su determinante puede ser evaluado por el fórmula del determinante de la matriz en bloque a $\det(A^2-B^2)$ . De nuevo, ya que $A$ y $B$ conmutar, tenemos $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ y el resultado es el siguiente.