Es $1-\sin(x)$ una asignación de contracción? Y es que hay una suficiente/condición necesaria para que un valor real de la función a ser una contracción?

Question

Esto surgió como yo estaba pensando acerca de cómo resolver un problema de la asignación que me han dado. Yo no soy de publicar el problema de la asignación de aquí como yo quiero pensar acerca de mí mismo, pero un enfoque actualmente estoy trabajando es para mostrar que $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x) = 1-\sin(x)$$ es una asignación de contracción.

En el momento en que tengo la sensación de que no lo es. Tomar, por ejemplo,$x_1 < 0 < x_2$, luego $$ \left|\frac{(1-\sin x_1)-(1-\sin x_2)}{x_1-x_2}\right| = \left|\frac{\sin(x_1) - \sin(x_2)}{x_1-x_2}\right| \to 1$$ como $x_1 \to 0^-, x_2 \to 0^+$.

Por lo tanto no existe un no-negativo $k<1 \in \mathbb{R}$ tal que $|\sin(x_1)-\sin(x_2)| \leq k|x_1-x_2|$ todos los $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$. (Solo tome $x_1,x_2$ arbitrariamente cerca de $0$.) Por lo $f$ no es una asignación de contracción.

Esa era la idea. Pensando un poco más, vemos que esto ocurre debido a que $|f'(x)| = 1$$x=0$. Así que tal vez tenemos una condición necesaria y suficiente para que una función en los reales a ser una asignación de contracción, es decir, que $\forall x\in\mathbb{R},|f'(x)|\leq k<1$ para algunos no negativo real $k$. Es este el caso? O he perdido algunas sutiles (o no tan sutiles) punto?

Answer 1

Ese es el caso si $f$ es diferenciable en todos los de $\mathbb{R}$, luego por Lagrange del teorema (delvalor medio teorema) $$|f(x)-f(y)|=|f'(c_{x,y})||x-y|$$ para algunos $c_{x,y}$$x$$y$, para todos los $x,y\in\mathbb{R}$. A partir de aquí, la suficiencia es claro ya que si $|f'(x)|\leq K$ $$|f(x)-f(y)|=|f'(c_{x,y})||x-y|\leq K|x-y|$$ Ahora, por necesidad, sólo tenemos que utilizar la definición de la derivada: si $f$ es la contratación con constante $K<1$, determinado $x\in \mathbb{R}$ $$|f'(x)|=\lim_{h\to 0} \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|\leq\lim_{h\to 0} \frac{K\cdot|x+h-x|}{|h|}=K$$ el uso que el valor absoluto es continua y que los límites de preservar las desigualdades. q.e.d.