Extensión continua de una función real

Question

Relacionado;

Juego abierto en $\mathbb{R}$ es la unión de una colección a lo sumo contable de segmentos disjuntos

Este es el teorema que necesito demostrar;

"Let $E(\subset \mathbb{R})$ sea un subconjunto cerrado y $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Entonces existe una función continua $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g(x)=f(x), \forall x\in E$ ."

He intentado probarlo durante horas, pero no he podido. He encontrado algunas soluciones, pero ridículamente todas son erróneas. Cada solución afirma que "Si $x\in E$ y $x$ no es un punto interior de $E$ entonces $x$ es un punto final de un segmento de una colección a lo sumo contable de segmentos disjuntos". Sin embargo, esto es falso (véase el argumento de Arthur en el enlace anterior).

Solución errónea Q4.5;

http://www.math.ust.hk/~majhu/Math203/Rudin/Tarea15.pdf

Al igual que el argumento en esta solución, puedo ver que $g$ es continua en $E^c$ y $Int(E)$ . Pero ¿cómo puedo demostrar que $g$ es continua en $E$ ?

Answer 1

Una demostración constructiva y explícita procede como sigue. Dado que $E$ está cerrado, $U=\mathbb{R}\setminus E$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos, digamos, $U=\bigcup (a_n,b_n)$ . Necesariamente, debemos tener que $a_n,b_n\in E$ . Defina $f(x)$ como sigue. $$f(x) = \begin{cases} g(x) &\text{if }x\in E \\ \frac{x-a_n}{b_n-a_n}g(b_n)+\frac{b_n-x}{b_n-a_n}g(a_n) & \text{if }x\in[a_n,b_n] \end{cases}$$

Observe en primer lugar que $f(x)$ está bien definida y, además, para todo $x\in(a_n,b_n)$ o bien $g(a_n)\le f(x)\le g(b_n)$ o $g(b_n)\le f(x)\le g(a_n)$ dependiendo de si $g(a_n)\le g(b_n)$ o de otro modo. Claramente, $f$ es continua en $U$ . Supongamos ahora que $x\in E$ y $\epsilon>0$ . Luego hay algunos casos.

Caso 1: Supongamos que para cada $\eta>0$ , $(x-\eta,x)\cap E\not=\emptyset$ y $(x,x+\eta))\cap E\not=\emptyset$ . Entonces, como $f\vert_E=g$ hay algo de $\delta>0$ tal que si $y\in E$ y $\vert x-y\vert<\delta$ entonces $\vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon$ . Debido a la condición que tenemos para el Caso 1, podemos elegir algún $x_1,x_2\in E$ con $x-\delta<x_1<x<x_2<x+\delta$ . Elija $\delta'=\min\{x-x_1,x_2-x\}$ . Si $\vert y-x\vert<\delta'$ entonces si $y\in E$ Hemos terminado. Si $y\in U$ entonces $y\in(a_m,b_m)$ para algunos $m\in\mathbb{N}$ . Además, $a_m,b_m\in E$ y están dentro de $\delta$ de $x$ . También, $f(y)$ se encuentra entre $g(a_m)$ y $g(b_m)$ . Así $f(y)$ está dentro de $\epsilon$ de $f(x)$ desde $f(a_m)=g(a_m)$ y $f(b_m)=g(b_m)$ están dentro $\epsilon$ de $f(x)$ .

Caso 2: Hay algún $\eta>0$ para lo cual $(x-\eta,x)\cap E=\emptyset$ o $(x,x+\eta)\cap E=\emptyset$ . En este caso, $x$ es un punto final de uno de los intervalos de $U$ . Así $f$ es lineal en $[x,x+\eta)$ o $(x-\eta,x]$ (tal vez ambos). Ciertamente, podemos $\delta>0$ correspondiente a $\epsilon$ a este lado de $x$ . Por el otro lado de $x$ Utiliza el argumento del caso 1 para obtener unos $\delta'$ . Elegir $\delta''=\min\{\delta,\delta'\}$ demuestra el resultado.

Answer 2

Se trata de un caso especial del Teorema de extensión de Tietze . Se trata de un resultado estándar cuya demostración puede encontrarse en cualquier texto de topología decente. Se puede encontrar una demostración bastante diferente aquí .