¿Hay algún nombre popular de este teorema en el estándar de la literatura?

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio. A continuación, $X$ es un espacio de Banach si y sólo si la convergencia absoluta de cualquier serie en $X$ implica la convergencia condicional de la serie.

¿Hay algún nombre que se da al resultado anterior en la literatura estándar en la normativa del espacio de la teoría?

Y, ¿hay algún nombre que se da a la propiedad de convergencia absoluta de una serie de lo que implica la convergencia condicional?

¿Cómo podemos demostrar este teorema?

Mi esfuerzo:

Supongamos que $X$ es un espacio de Banach. Deje $\sum_n x_n$ ser absolutamente convergente la serie en $X$. A continuación, la secuencia $(\alpha_n)_{n\in \mathbb{N}}$, donde $$\alpha_n \colon= \Vert x_1 \Vert + \cdots + \Vert x_n \Vert \ \mbox{ for all } \ n \in \mathbb{N},$$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$.

Por lo tanto, dado un número real $\epsilon>0$, podemos encontrar un número natural $N$ tal que $$\vert \alpha_m - \alpha_n \vert < \epsilon \ \mbox{ for all } \ m, n \in \mathbb{N} \ \mbox{ such that } \ m > N \ \mbox{ and } \ n > N.$$ Ahora vamos a $m, n \in \mathbb{N}$ tal que $n > m > N$. Entonces $$\begin{align} \left\Vert \sum_{k=1}^n x_k - \sum_{k=1}^m x_k\right\Vert &= \left\Vert \sum_{k=m+1}^n x_k \right\Vert \\ &\leq \sum_{k=m+1}^n \Vert x_k \Vert \\ &= \alpha_n - \alpha_m \\ &= \vert \alpha_n - \alpha_m \vert \\ &< \epsilon. \end{align}$$ Así, la secuencia $\left(\sum_{k=1}^n x_k \right)_{n\in\mathbb{N}}$ de las sumas parciales de la serie de $\sum_n x_n$ es de Cauchy y por lo tanto convergente.

Por el contrario, supongamos que la convergencia absoluta de cualquier serie en $X$ implica la convergencia de la serie. Supongamos que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $X$. Tenemos que mostrar que esta secuencia converge en $X$. Cómo?

Answer 1

No sé de un nombre para este teorema, o la propiedad que usted dijo. Si usted está buscando una referencia, este es el Teorema de $5.1$ de Folland del Análisis Real (Técnicas Modernas y Sus Aplicaciones). Su prueba de la primera implicación es buena. En cuanto a la segunda, he adaptado Folland de la prueba a continuación (es difícil).

Como $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy, para cada una de las $j \in \mathbb{N}$, podemos encontrar $n_j$ tal que $\|x_n - x_m\| < 2^{-j}$ todos los $n, m \geq n_j$. Además, podemos organizar que $n_1 < n_2 < \dots$ Ahora considere la secuencia de $(y_j)$$X$$y_1 = x_{n_1}$, e $y_j = x_{n_j} - x_{n_{j-1}}$$j > 1$. Tenga en cuenta que suma parcial $\sum_{j=1}^ky_j$ es telescópica y se simplifica a $x_{n_k}$, mientras que

$$\sum_{j=1}^{\infty}\|y_j\| = \|y_1\| + \sum_{j=2}^{\infty}\|x_{n_j}-x_{n_{j-1}}\| \leq \|y_1\| + \sum_{j=2}^{\infty}2^{-(j-1)} = \|y_1\| + \sum_{j=1}^{\infty}2^{-j} = \|y_1\| + 1.$$

Como el absoluto de la serie converge, $\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}y_j$ converge por hipótesis. Pero

$$\sum_{j=1}^{\infty}y_j = \lim_{k \to\infty}\sum_{j=1}^k y_j = \lim_{k\to\infty}x_{n_k}$$

por lo $(x_{n_k})$ converge. Como $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy con convergente larga $(x_{n_k})$, $(x_n)$ converge (ver aquí por ejemplo).