Si $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{3}$ converge qué $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ convergen?

Question

Supongamos $a_{n}>0$ y la siguiente serie converge

$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{3}$

¿Esto implica que

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$

converge?

Yo era capaz de demostrar que la segunda serie también converge mediante el límite de la comparación de la prueba. Hay otra manera de mostrar el segundo de la serie converge (por ejemplo, la raíz o la prueba de razón)?

Answer 1

He aquí una más conceptual respuesta que no recurren a las desigualdades ad hoc. Suponga $a_n > 0$.

El problema puede ser reformulado, por escrito, $(a_n)^3 = 1/(n^{3/2 + p})$ ($p$ una función de $n > 1$, e ignorando $a_1$), como:

Si $\Sigma 1/(n^{3/2 + p})$ converge, a continuación, $\Sigma 1/(n^{3/2 + (p/3)})$ converge.

La transformación se mueve la serie hacia el (convergente) y uno con $p=0$. Esto preserva la convergencia, debido a que la serie se puede dividir en los términos con $p \leq 0$$p>0$. Para el primer conjunto, la convergencia se ha mejorado, y para el segundo set, la suma es dominado por $\Sigma 1/n^{3/2}$.

Answer 2

Por Hölder la desigualdad tiene $$ A_k=\sum_ {i=1}^{k} \frac{a_n}{n} \leq \left ( \sum_ {i=1}^{k}a_ n ^3 \right )^\frac{1}{3} \left ( \sum_ {i=1}^{k} \frac{1}{n^\frac{3}{2}}\right ) ^\frac{2}{3}$$ Tomando $k \rightarrow \infty $,vemos a $\sum_ {i=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ es limitado y desde $\frac{a_n}{n} \geq 0$ llegamos a la conclusión de que es convergente( desde $A_k$ es limitado y cada vez mayor).

Answer 3

$3|a_n|/n \leq (|a_n|^3 + (2/n^{3/2})$ por un conocido de la desigualdad. Suma.

Esto también muestra el rango de valores que el segundo infinita suma de suponer, dado el valor de la primera, y suponiendo que todos los términos son no-negativos.