Logaritmo de la desigualdad problema: $\log_2 3 > \log_3 4$

Question

Acabo de encontrar una desigualdad en mi libro de matemáticas, ¿cómo puedo solucionar esto?

$\log_2 3 > \log_3 4$

Lo que yo hice:

$\log_2 3 > 2\log_3 2$

$\frac{1}{\log_3 2} > 2\log_3 2$

..y aquí es como el $\frac{1}{a} > 2a$ y es imposible :(

¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

$\log_23$ vs $\log_34$

Multiplicar cada término por $2$:

$2\log_23$ vs $2\log_34$

Aplicar logaritmo reglas:

$\log_23^2$ vs $\log_34^2$

Simplificar:

$\log_29$ vs $\log_316$

Conclusión:

$\log_29>\log_28=3=\log_327>\log_316$

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Por lo tanto $\log_23>\log_34$

Answer 2

En realidad, $\frac1a > 2a$ no es imposible porque, a continuación, $a^2 < \frac12$ que $a > 0$. Esto significa $\frac{-1}{\sqrt2} < a < \frac1{\sqrt2}$. Esto tiene sentido porque $log_32 \approx 0.6309$, que es entre el$\frac{-1}{\sqrt2} \approx -0.7071$$\frac1{\sqrt2} \approx 0.7071$. No tengo idea de cómo resolverlo porque no hay ninguna variable para resolver, sino que es una verdadera declaración:$$log_23 \approx 1.5850 > log_34 \approx 1.2619$$

Answer 3

Para cualquier número real $x > 1$$y > 1$, y cualesquiera enteros positivos $m$$n$, $$ \begin{Bmatrix} \log_x y > \frac{m}{n} \\ \log_x y = \frac{m}{n} \\ \log_x y < \frac{m}{n} \end{Bmatrix} \text {, según como } \begin{Bmatrix} x^m < y^n \\ x^m = y^n \\ x^m > y^n \end{Bmatrix}. $$ Tomando $m = 3$$n = 2$,$2^3 = 8 < 9 = 3^2$, mientras que el $3^3 = 27 > 16 = 4^2$, y por lo tanto $$ \log_2 3 > \frac{3}{2} > \log_3 4. $$

En este caso, el valor de $n$ ser tan pequeños - uno puede fácilmente comprobar el resultado por el cálculo numérico: $$ 2^{3/2} = 2\sqrt{2} < 3, \text{ mientras } 3^{3/2} = 3\sqrt{3} > 4. $$