Muestran que

Question

Mostrar que $\displaystyle \lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{{\bf R}^{n}}{\widehat{f}(x)e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}}~dx=f(0)$ si $f\in L^{1}({\bf R}^{n})\cap L^{\infty}({\bf R}^{n})~$ es continua en a $0\in{{\bf R}^{n}} ,$donde $\widehat{f}(\xi)$ es la transformada de Fourier de $f$ que se da $\displaystyle\int_{{\bf R}^{n}}f(x)e^{-2\pi i\langle x ,~\xi\rangle}~dx~.$

Mi trabajo :

En primer lugar , recordamos que la transformada de Fourier de esta función $e^{-\pi|x|^{2}}$ es exactamente la misma , por lo tanto se tienen los siguientes
\begin{align} \int_{{\bf R}^{n}}{\widehat{f}(x)}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dx&=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}f(t)e^{-2\pi i\langle x,t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dtdx\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}\varepsilon^{n} f(\varepsilon t)e^{-2\pi i\langle x,\varepsilon t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dtdx\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}\varepsilon^{n} f(\varepsilon t)e^{-2\pi i\langle x,\varepsilon t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dxdt\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}\varepsilon^{n}\varepsilon^{-n}f(\varepsilon t)e^{-2\pi i\langle \frac{x}{\varepsilon},\varepsilon t\rangle}e^{-\pi|x|^{2}}~dxdt\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}f(\varepsilon t)e^{-2\pi i\langle x,t\rangle}e^{-\pi|x|^{2}}~dxdt\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}f(\varepsilon t)e^{-\pi|t|^{2}}~dt~\color{blue}{-(1)}\\ \end{align} ,donde la segunda igualdad es por la Fubini–Tonelli teorema desde $f\in L^{1}({\bf R}^{n})$ por supuesto . De hecho , \begin{align} \displaystyle\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}\bigg|\varepsilon^{n} f(\varepsilon t)e^{-2\pi i\langle x,\varepsilon t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~\bigg|~dtdx&=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}\bigg|f(t)e^{-2\pi i\langle x,t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~\bigg|~dtdx\\ &=\int_{{\bf R}^{n}}\int_{{\bf R}^{n}}|f(t)|~e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dtdx\\ &<\infty \end{align}

Además , la función de $e^{-\pi |t|^{2}}\|f\|_{L^{\infty}~({\bf R}^{n})}~$ $L^{1}({\bf R}^{n})$ unido para la ecuación de $\color{blue}{(1)}$ , que es , $\bigg|f(\varepsilon t)e^{-\pi|t|^{2}} \bigg|\le e^{-\pi |t|^{2}}\|f\|_{L^{\infty}~({\bf R}^{n})}$ , precisamente , la función de este último se encuentra en $L^{1}({\bf R}^{n})\cap L^{\infty}({\bf R}^{n}).$

Ahora , aplicar el Teorema de Convergencia Dominada y $f$ es continua en el elemento de identidad $0\in {\bf R}^{n}$ por supuesto para la ecuación de $\color{blue}{(1)} $ a los rendimientos que $$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{{\bf R}^{n}}{\widehat{f}(x)}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dx=\int_{{\bf R}^{n}}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}f(\varepsilon t)e^{-\pi|t|^{2}}~dt~=\int_{{\bf R}^{n}}f(0)e^{-\pi|t|^{2}}~dt=f(0)$$ , for the last equality is by the well-known fact $\displaystyle\int_{{\bf R}^{n}}e^{-|\eta|^{2}}~d\eta=\pi^{\frac{n}{2}}$ .

Puede comprobar mi prueba de la validez de si usted tiene el tiempo , de lo contrario simplemente ignorar lo que está bien . Cualquier comentario o sugerencia valiosa voy a estar agradecido .

Answer 1

Como lo que puedo decir que la prueba es correcta, pero quería añadir un comentario de cómo se podría resolver este problema de una manera diferente. El resultado es $f(0)$ prácticamente grita "esto está relacionado con la Delta de Dirac!". De hecho, se trata de una inmediata observación de que $g_\epsilon(x) = e^{-\epsilon \pi x^2} \to 1$ todos los $x$ y la función constante $1$ es, por supuesto, la transformada de Fourier de la Delta de Dirac!

Así que está de pie a la razón para invocar el Teorema de Plancherel: $\langle f\mid g\rangle = \langle \hat f \mid \hat g \rangle$ concluir:

$$ \langle \hat f\mid g_\epsilon\rangle = \langle f \mid \hat g_\epsilon\rangle \longrightarrow\langle f\mid\delta\rangle = f(0) $$

Donde para ser riguroso, necesitamos saber un par de detalles:

• El uso de Plancherel necesitamos $f\in L^2$. Hacia este fin, es un ejercicio fácil para mostrar $$ f\in L^1 \cap L^\infty \implies f\in L^p \text{ for all } p\ge 1 $$

• $\langle f \mid \delta_a\rangle = f(a)$ es una funcional lineal continua si y sólo si $f$ es continua en a $a$

• Si $g_n \to g$ como distribuciones, a continuación, $\hat g_n \to \hat g$ como distribuciones.