Ayuda para comprender lo que está sucediendo en$A[G]$

Question

Ok, así que estoy dado un grupo de $G$ y un anillo de $A$, y definir:

$$A[G]=\left\{\sum_{g \in G} f(g) g : f:G \to A, \text{ such that $f$ has finite support} \right\}$$

Definir la suma $(+)$:

$$\sum_{g \in G} f(g) g + \sum_{g \in G} h(g) g = \sum_{g \in G} (f(g)+h(g)) g$$

Y la multiplicación $(\cdot)$:

$$\sum_{\alpha \in G} f(\alpha) \alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta) \beta = \sum_{g\in G}\left(\sum_{\alpha \beta = g} f(\alpha)h(\beta)\right) g$$

Y, a continuación, $(A, +, \cdot)$ es un anillo.

Ahora, estoy tratando de calcular $Z(A[G])$, y tengo una sugerencia, que dice que en primer lugar demostrar que si $\sum_{g \in G} f(g) g \in Z(A[G])$ $f(g) \in Z(A)$ por cada $g\in G$.

Así que creo que el $\sum_{g \in G} f(g) g \in Z(A[G])$ y, a continuación, para cualquier $\sum_{g \in G} h(g) g \in A[G]$, tenemos que

$$\sum_{\alpha \in G} f(\alpha) \alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta) \beta =\sum_{\beta \in G} h(\beta) \beta \cdot \sum_{\alpha \in G} f(\alpha) \alpha$$

Así que pensé, ok, dado $x\in A$ permite llevar a $h:G \to A$ $h(1_{G})=x$ $h(g)=0$ por cada $g \in G-\{1\}$, con el fin de mostrar que el $f(g) \in Z(A)$ por cada $g \in G$. Así que aquí viene mi malentendido: Para esta dado $h$,

$$\sum_{\alpha \in G} f(\alpha) \alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta) \beta = \sum_{\alpha \in G} f(\alpha) \alpha \cdot (x \cdot 1_{G} + \sum_{g \in G-\{1\}} 0 \cdot g)$$

Pero $0 \in A$ $g \in G$ e (he no han estudiado Módulos hasta ahora) y por lo tanto, En principio no sé cómo multiplicar $0 \cdot g$. De hecho, no sé cómo multiplicar cualquier $a \in A$ cualquier $g\in G$. Así que ¿cuál es el problema? Yo no necesito eso? Dónde estoy perdido?

Answer 1

Pensar en el $g$ $\sum_{g \in G} f(g) g$ como marcadores de posición, de la misma manera como el $x^j$ actúan como marcadores de posición en un polinomio de la expresión $a_nx^n + \dotsb + a_1x^1 + a_0x^0$. Esto debería hacer que sea más fácil ver que $$\sum_{g \in G} f(g) g = \sum_{g \in G} h(g) g$$ if and only if $$f(g) = h(g)\quad \text{for every } g \in G.$$ El uso de su opción de $h$, para todas las $x \in A$ consigue $$ \sum_{\alpha \in G} f(\alpha)\alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta)\beta = \sum_{\alpha \in G} \big(f(\alpha)x\big) \alpha = \sum_{\alpha \in G} \big(xf(\alpha)\big) \alpha = \sum_{\beta \in G} h(\beta)\beta \cdot \sum_{\alpha \in G} f(\alpha)\alpha $$ que por el comentario anterior significa que $f(g)x = xf(g)$ por cada $g \in G$.

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Tras la OP comentario a continuación, veamos un poco más en detalle la forma en que uno puede calcular esos productos. Por definición $$ \sum_{\alpha \in G} f(\alpha)\alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta)\beta = \sum_{g \in G} \left(\sum_{\alpha\beta=g} f(\alpha) h(\beta)\right) g $$ así que vamos a calcular la suma de los soportes para un determinado $g \in G$. Ahora, a considerar algunos de los $\alpha,\beta \in G$ tal que $\alpha\beta = g$, y supongamos que $\beta \neq 1_G$. A continuación, por su elección de $h$ tenemos $h(\beta) = 0$, lo $f(\alpha) h(\beta) = 0$. Ya que la suma entre paréntesis se calcula en $A$, se deduce que $$ \sum_{\alpha\beta=g} f(\alpha) h(\beta) = f(g)h(1_G) + \sum_{\substack{\alpha\beta=g\\\beta\neq1_G}} 0 = f(g)x. $$ Del mismo modo para los otros productos.

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Por otro lado, tenga en cuenta que cuando usted tiene algunos elementos concretos de $A[G]$, se pueden calcular los productos de una manera más sencilla. De hecho, para facilitar la notación vamos a estar de acuerdo que, cuando la escritura de un elemento de $A[G]$, vamos a omitir todos los términos con coeficiente de $0$. A continuación, la finitud de la condición significa que cada elemento no nulo de a $A[G]$ es de la forma $a_1 g_1 + \dotsb + a_n g_n$ algunos $g_1,\dotsc,g_n \in G$ $a_1,\dotsc,a_n \in A$ cero. Además, $$ \begin{align} (a_1g_1+\dotsb+a_ng_n)(b_1h_1+\dotsb+b_mh_m) &= (a_1b_1)(g_1h_1) + \dotsb + (a_1b_m)(g_1h_m)\\&+(a_2b_1)(g_2h_1) + \dotsb + (a_nb_m)(g_nh_m). \end{align} $$ Si esto se parece mucho a un producto de polinomios, no se confunden. Las mismas definiciones de suma y producto en $A[G]$ todavía funciona al $G$ es un monoid en lugar de un grupo, y si usted toma $G = \{X^n : n \in \Bbb{Z}_{\geq 0}\}$ recuperar el anillo de polinomios $A[X]$.

Con esto en mente, vamos a revisar el producto anterior: $$ \sum_{\alpha \in G} f(\alpha)\alpha \cdot \sum_{\beta \in G} h(\beta)\beta = \left(\sum_{\alpha \in G} f(\alpha)\alpha\right) (x1_G) = \sum_{\alpha \in G} (f(\alpha)x)(\alpha1_G) = \sum_{\alpha \in G} (f(\alpha)x)\alpha. $$