Probabilidad de un evento dado la probabilidad de que otros dos eventos

Question

Vamos $A$, $B$, y $C$ eventos. Supongamos que $P(A) \ge .9$, $P(B) \ge .8$, y $P(A \cap B \cap C)=0$.

Mostrar que $P(C) \le .3$.

Ahora, he intentado utilizar la inclusión-exclusión de principio a resolver esto, pero estoy llegando a ninguna parte. Tal vez esa es la manera correcta de comenzar, pero estoy buscando la manera equivocada? Ha sido un poco de blanco ya que he trabajado con esto, así que no estoy seguro de que estoy en el camino correcto.

También, ¿es correcto que $P(A \cap B \cap C)=0$ significa que los acontecimientos $A$, $B$, y $C$ son disjuntas (pero no necesariamente $A \cap C$, $A \cap B$, y $B \cap C$)?

Todas las sugerencias se agradece.

Gracias.

Answer 1

Ya que % están separados, $A\cap B$y $C$ $$\Pr(A\cap B)+\Pr(C)\le 1.\tag{$1 $}$ $

$\Pr(A\cup B)\le 1$, Por lo de la familiar $$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\cap B)$ $ concluimos que $\Pr(A\cap B)\ge 1.7-1=0.7$.

Desde $\Pr(A\cap B)\ge 0.7$, sigue de $(1)$de % que $\Pr(C)\le 0.3$.

Comentario: También se puede utilizar un argumento de fórmula libre, utilizando un diagrama de Venn. Que es mejor, pero el dibujo y la carga de una imagen es (para mí) no es fácil.