Decir que uno está trabajando en una representación de $SO(2n)$ que tiene el más alto pesos $(h_1,...,h_n)$. Y deje $\{H_i\}_{i=1}^{n}$ ser una base en la Cartan de $so(2n) = Lie(SO(2n))$. Ahora se dice que $\{t_i\}_{i=1}^{n}$ son números tales que la da un $ g\in SO(2n)$ es conjugado a $e^{\sum_{i=1}^n t_i H_i}$
Que, al parecer, el personaje de esta $g$ en esta representación está dado como:
$$\chi (h_i,t_i) = \frac{\det (\sinh [ t_i(h_j + n-j)]) + \det (\cosh [ t_i(h_j + n-j)]) }{\det (\sinh [t_i(n-j)]) } $$
Pero cuando en realidad tratando de poner esto me enfrento con dos confusiones,
Dado un $g$ ¿cómo puedo determinar "un" set de $t_i$? Hay una opción estándar de $H_i$ si se me da $g$ en su "definición" de la representación de una matriz de rotación en $\mathbb{R}^{2n}$?
Me gustaría saber de un método general de obtención de "un" conjunto de $t_i$ a partir de una dada (definición de) representación de la matriz de $g$.
Para la concreción (y mi necesidad inmediata!) usted puede considerar, por $g$ la matriz de rotación en $\mathbb{R}^{2n}$ que gira un ángulo de $\alpha$ en el $1$-$2$ plano y se mantiene todo lo demás fija. A continuación, el $g$ es $2n \times 2n$ matriz de tal manera que el primer $2\times 2$ bloque en la diagonal es $\{\{\cos \alpha, \sin \alpha\},\{-\sin \alpha, \cos \alpha \}\}$ y todas las demás entradas se $0$.
Hay aquí cierta simetría que asegura que el WCF dar la misma respuesta para todo lo que es la elección de la base en la Cartan de la Mentira de álgebra? (..estas distintas elección de base claramente el cambio de los valores de $t_i$..)
Si alguien puede dar una referencia a esta fórmula especial para el personaje que sería genial.
En este MO discusión acerca de este ARupanski había sugerido la siguiente manera para obtener un conjunto válido de $t_i$,
Tomar una $SO(2n)$ matriz de decir $g$ y, a continuación, todos los $2n$ autovalores vienen en pares $\{a_i, 1/a_i\}$. Consideremos ahora los n-vectores $v = \{a_i\}$
- Hay una manera en que uno puede pensar en esto $v$ a estar sentado en el lapso de la fundamental pesos de $SO(2n)$?
Creo que el reclamo es que el $t_i$ está determinado por la escritura $v = \sum_{i=1} ^n t_i w_i$ donde $w_i$ son la parte fundamental de pesos.
Puede que alguien ayude a entender por qué esto se supone que para dar un conjunto necesario de $t_i$?
Hace este trabajo más allá de $SO(2n)$ grupos?
