Medio de Cesàro para una secuencia divergente

Question

Dada una secuencia real $(a_n)_n$ convergen a un valor finito $a$, una propiedad de la media de Cesàro, definida como la media aritmética

$$ b_n = \frac {a_1 + \ldots, a_n} {n}, $$

es

\lim_{n\to\infty}b_n=a,\tag1 $$ $$

así que, suponiendo que $a_n\neq0$ $\forall\,n$ y $a\neq0$, también podemos deducir

\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1.\tag2 $$ $$

¿Resultado $(2)$ también es válido para $a=0$?
¿% De resultados $(1)$y $(2)$ también es válido para $a=+\infty$?

Answer 1

El resultado (2) falla en ambos casos. $a=0$, Que $a_n=1/n$. Entonces $bn=(\ln(n)+O(1))/n$ y tan % $ $$\lim\limits{n\to\infty}\frac{b_n}{an}=\lim{n\to\infty} \ln(n)+O(1)=+\infty.$$a=+\infty$$a_n=n$ que $bn=(n+1)/2$así $$\lim{n\to\infty} \frac{b_n}{an}=\lim{n\to\infty} \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}.$ $

Sin embargo, (1) es verdadera cuando $a=+\infty$. Para ver esto, supongamos que $a_n\to+\infty$. Queremos mostrar que para cualquier $x$, hay un $N$ tal que $n\geq N\implies b_n>x$. Fijar $x$. Nota que tenemos un $N_1$ tal que $n\geq N_1\implies an>0$. Que $y=\max\left{-\sum{n=1}^{N_1} a_n,0\right}$. Tenemos algunos $N_2$ tal que $n\geq N_2\implies a_n>2x+y$. Que $N=2N_2$. Entonces $$n\geq N\implies bn>\frac{\sum{n=1}^{N_1} a_n +(n-N_2)y+(n-N_2)2x}{n}\ge\frac{(n-N2)2x}{n}\ge x$ $ y así $\lim\limits{n\to\infty} b_n=+\infty$.