Teorema de la función implícita

Question

¿Conoces alguna aplicación práctica de la implícita y Teorema de la inversión para las funciones?

Me pregunto si te has topado con un problema práctico concreto que no es demasiado duro para entender (de física (mecánicos), astronomía, química, etcetera) en que hizo uso de este teorema.

¡Gracias!

Answer 1

El teorema de la función implícita (IFT) codifica nuestros sentimientos intuitivos acerca de "grados de libertad" en una precisa y de manera definitiva, y como tal, se convierte en una parte arraigada de nuestro día a día, matemáticas (física, económica, etc.) pensamiento. Su contenido esencial es el siguiente: al $n$ variables reales $x_1$, $\ldots$, $x_n$ están vinculados entre sí por $r$ llamado constitucional ecuaciones $$F_i(x_1,x_2,\ldots, x_n)=0\qquad(1\leq i\leq r)\tag{1}$$ entonces estas ecuaciones definen un determinado conjunto de $S\subset{\mathbb R}^n$. Dependiendo de la prevista aplicación de este conjunto puede ser interesante desde un punto de vista geométrico, o puede ser el conjunto admisible de los estados de un sistema, etc.

De acuerdo con el IFT este conjunto $S$ no es ni un conjunto de un número finito de puntos, ni de una "esponja", ni un "cuerpo completo", pero es (bajo ciertos supuestos técnicos)$d$ -dimensiones del colector, donde $d=n-r$. Esto significa que con el fin de "producir" este conjunto $S$, en lugar de definir implícitamente por medio de la $(1)$, tenemos $d$ las variables de parámetro $u_1$, $\ldots$, $u_d$. Si es necesario, también podemos representar a $S$ como "el gráfico" en el formulario $$x_k=\phi_k(x_1,x_2,\ldots, x_d)\qquad(d+1\leq k\leq n)\ .$$ Es importante que para las discusiones teóricas acerca de tales cosas el IFT nos dice de las propiedades de la $\phi_k$ una vez por todas. No necesitamos fórmulas explícitas para las $\phi_k$ que aparecen aquí – de hecho, si en una situación concreta que hemos tales fórmulas, no necesitamos el teorema para comenzar con.