Por ejemplo, las sumas finitas directas anillos noetherianos son noetherianas, así como el anillo de series de potencias formales sobre un anillo noetheriano.

Question

En el ejercicio de la I. XXI de la Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris, a uno se le pide calcular el anillo de funciones racionales, en primer lugar de un integrante del dominio, luego de un general Noetherian anillo de $R$,

$$\varinjlim_{U\in\mathscr U}\mathscr O_X(U),$$ where $(X,\mathscr O)$ is the affine scheme associated to $R$, and where $\mathscr U$ is the set of open dense subsets of $X$.

Pensamientos:
Por una parte integral de dominio $R$, sé que $X$ es irreductible y reducido; en particular, todo conjunto abierto es denso en $X$. Por tanto, el límite en cuestión es sólo la fracción de campo de $R$, ¿verdad?
Sin embargo, para un arbitrario Noetherian anillo, yo sabemos casi nada acerca de este límite: no existe ninguna fracción de campo para $R$ a todos, y no podemos pensar en un anillo de secciones como la relación de los elementos en $R$!
Cualquier ayuda sería muy apreciada, y gracias de antemano.

Answer 1

El complemento de un denso abierto es un conjunto cerrado $V(I)$ que no contiene ningún componente irreducible de $X$ --, equivalentemente, $I$ no figura en ningún mínimo prime de $R$. Si $\mathfrak{p}\in X - V(I)$, luego por el primer evitación podemos encontrar $f$ tal que $\mathfrak{p}\in D(f)$ $f$ no pertenece a ningún mínimo prime de $R$ --, equivalentemente, $D(f)$ es denso en $X$. Por lo tanto, cualquier denso abierto está cubierto por los conjuntos de la forma $D(f)$ $f$ no pertenece a ningún mínimo el primer y usted puede calcular el directo de límite con respecto a dichas $D(f)$.

A partir de esto, es fácil ver que la directa límite es el de la localización de $R$ en el multiplicativo conjunto de elementos no contenidos en cualquier mínimo prime, que es exactamente el conjunto de no-cero-divisores de $R$.