Teselaciones de hexágonos

Question

Una configuración está formada por hexágonos regulares congruentes, donde cada hexágono comparte un lado con otro hexágono. ¿Cuál es el mayor entero $k$ , de manera que la figura no puede tener $k$ ¿Vértices? Para ejemplo esta figura tiene $13$ vértices.

Eso es lo que he podido hacer hasta ahora.

• Un hexágono construido sobre un hexágono suma $4$ vértices a la configuración.

• Un hexágono entre dos hexágonos suma $3$ vértices.

• Un hexágono entre $3$ los hexágonos se suman $2$ vértices

• Un hexágono entre $4$ hexágonos añade $1$ vértice

• Un hexágono entre $5$ hexágonos añade $0$ vértices

• Un hexágono entre $6$ hexágonos añade $0$ vértices

Ahora está claro que cualquier número de vértices que tenga, lo consigo mediante las combinaciones anteriores.

Sin embargo, no sé qué tengo que hacer ahora.

Me parece que puedo añadir un número infinito de hexágonos construidos uno sobre otro y tener un número infinito de vértices...

¿Pueden ayudar?

Answer 1

Hacer una cadena de $\geq2$ hexágonos se puede realizar todo $k$ de la forma $k=10+4m$ , $m\geq0$ . Partiendo de su figura y uniendo una cadena de hexágonos se pueden realizar todas $k=13+4m$ vértices, y comenzando con una mancha de $4$ , resp. $5$ , hexágonos uno muestra que todos $k$ de la forma $k=16+4m$ o $k=19+4m$ , $m\geq0$ se puede realizar de esta manera. Nótese que $10$ , $13$ , $16$ , $19$ representan los cuatro remanentes módulo $4$ . Teniendo en cuenta esto, podemos realizar todas $$10,13,14,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,\ldots\ .$$

Por lo tanto, parece que el mayor no realizable $k$ es $19-4=15$ . Para asegurarse de que $k=15$ no puede realizarse se requiere una prueba de imposibilidad. Estas pruebas son notoriamente difíciles.

Cualquier configuración puede construirse una por una, de modo que permanezca conectada todo el tiempo. Comience con dos hexágonos pegados, haciendo $10$ vértices. A continuación, demuestre que nunca se puede llegar a $15$ vértices utilizando su lista de principios simples.