TEOREMA: si $F$ $G$ son de uno a uno, a continuación, $G \circ F$ es también uno a uno y $(G \circ F)^\neg$ = $F^\neg \circ G^\neg$
PRUEBA:
si $F: A\rightarrow B$, $G: B \rightarrow C$ y
$$\forall a, a' \in A \ \ F(a)=F(a') \Rightarrow a=a'$ $ , entonces F es uno a uno y si
$$\forall b, b' \in B \ \ G(b)=G(b') \Rightarrow b=b'$$ entonces G es uno a uno por la definición de uno a uno.
Si $(G \circ F)(a)=(G \circ F)(a') \Rightarrow G(F(a))= G(F(a'))$ a continuación, $F(a)= F(a')$ desde $G$ es de uno a uno.
Si $F(a)=F(a')$ $a=a'$ desde $F$ es de uno a uno
Debido a $G \circ F$ es de uno a uno también es invertible, por lo $(G \circ F)^\neg$ existen en la actualidad si calculamos $$\begin{align}((G\circ F)\circ (F^\neg\circ G^\neg))(a)&=\\ ((G\circ (F\circ F^\neg)\circ G^\neg))(a)&=\\ ((G\circ G^\neg))(a)&=a\end{align} $$
Por eso, $(F^\neg\circ G^\neg)$ es la inversa de a $G \circ F$ por lo tanto $(G \circ F)^\neg=(F^\neg\circ G^\neg)$
QED
Me siento como la primera parte está bien, pero la 2ª parte está todo desordenado ... ¿qué hice mal?
