Newton ' método s con no tiene ninguna raíz real

Question

Así como el título sugiere actualmente estoy leyendo sobre el método de Newton para encontrar las raíces. Tengo problemas para entender el razonamiento de una función sin una raíz.

Lee como siguiente:

"Consideramos la función $f(x) =1+x^2$. F no tiene claramente no tiene ninguna raíz real aunque tiene complexroots $x\pm i$. La fórmula del método de Newton para f es:

$x{n+1} = x{n} - \frac{1+x^2}{2x{n}}=\frac{x^2-1}{2x{n}}$"

¿Lo que está pasando aquí?

Muchas gracias a quien pueda ampliar un poco para mí!

Answer 1

Tienes que elegir valores partidos complejo, de lo contrario el método no converge a las raíces complejas.

Con la iteración correcta fórmula $$x_{n+1}=x_n - \frac{f(x)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^2+1}{2x_n} = \frac{2x_n^2-xn^2 -1}{2x n}=\frac{x_n^2 - 1}{2x_n}$ $ y un complejo valor inicial se obtiene por ejemplo

y para la otra raíz

Answer 2

Obras de método del neutonio solamente si la secuencia de itera convergen. Esto no es siempre el caso.

Por ejemplo si eliges $f(x)=\sqrt[3] x$ y prueba del método de Newton para encontrar la raíz de $x=0$

Tenemos $$ x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^{1/3}}{(1/3) x_n^{-2/3}}=-2x_n $$ The sequence of iterates starting at $x = 1$ is $$1,-2,4,-8,...$$ which does not converge to $x = 0$

Answer 3

Hay un error en la ecuación mostrada. $x$ En el numerador debe ser $x_n$. Entonces se escribe simplemente

$$x_{n+1} = x_n -\frac{1+x_n^2}{2x_n} = x_n\frac{2x_n}{2x_n} - \frac{1+x_n^2}{2x_n} =\frac{2x_n^2-x_n^2-1}{2x_n}. $$

Answer 4

En algunos casos, método de Newton no funciona. Por ejemplo, si encuentras un punto estacionario en el proceso (división por cero).

Su ejemplo es otro uno en método de que Newton no funciona, porque a partir de un número real que sólo vas a través de los números reales en el proceso. PERO usted podría comenzar con un número complejo, y (con un poco de suerte) se reunirán a la raíz compleja correcta.