Dejemos que $f(x)=x^n-x$ demostrar/desaprobar todas las matrices tales que $f(A)=0$ ¿son diagonalizables?
He intentado buscar condiciones en el polinomio mínimo pero no ha funcionado, ¿alguna sugerencia?
Dejemos que $f(x)=x^n-x$ demostrar/desaprobar todas las matrices tales que $f(A)=0$ ¿son diagonalizables?
He intentado buscar condiciones en el polinomio mínimo pero no ha funcionado, ¿alguna sugerencia?
Si $f(A)=0$ entonces el polinomio mínimo de $A$ divide $f$ por lo que tiene raíces distintas porque $f$ hace. Esto es suficiente para garantizar que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ (mira la forma normal de Jordan).
En $\mathbb{R}$ la condición indicada no es suficiente para garantizar que la matriz sea diagonalizable. Por ejemplo, si $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ entonces $A^5=A$ pero $A$ no es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ .
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