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Son todas las matrices que cumplen $x^n-x=0$ ¿son diagonalizables?

Dejemos que $f(x)=x^n-x$ demostrar/desaprobar todas las matrices tales que $f(A)=0$ ¿son diagonalizables?

He intentado buscar condiciones en el polinomio mínimo pero no ha funcionado, ¿alguna sugerencia?

6voto

carmichael561 Puntos 444

Si $f(A)=0$ entonces el polinomio mínimo de $A$ divide $f$ por lo que tiene raíces distintas porque $f$ hace. Esto es suficiente para garantizar que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ (mira la forma normal de Jordan).

En $\mathbb{R}$ la condición indicada no es suficiente para garantizar que la matriz sea diagonalizable. Por ejemplo, si $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ entonces $A^5=A$ pero $A$ no es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ .

4voto

Matthew Scouten Puntos 2518

$f(x) = x^n - x = x (x^{n-1}-1)$ no tiene raíces repetidas. El polinomio mínimo de $M$ no tiene raíces repetidas, por lo que $M$ es diagonalizable (sobre cualquier campo algebraicamente cerrado).

2voto

Ya Basha Puntos 130

Rotación por $120^\circ$ satisface $x^4-x=0$ pero no es diagonalizable sobre $\Bbb R$ .

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