Infimum de un conjunto (II)

Question

Me encontré con otra pregunta acerca de infimums de conjuntos.

Encontrar $\inf \{(-1)^{n} + 1/n: n \in \mathbb{Z}^{+} \}$.

Heuristaically, creo que el infimum es$-1$, ya que para un gran $n$, el segundo término va a $0$ y el primer término es, al menos,$-1$. Deje $A = \{(-1)^{n} + 1/n: n \in \mathbb{Z}^{+} \}$. Sé que $-1$ es un límite inferior para $A$ (tendría que justificar esto?). Por lo $\alpha = \inf A$ existe. Por lo tanto $-1 \leq \alpha$. Ahora tengo que demostrar que $\alpha \leq -1$. Supongamos por contradicción que $\alpha > -1$. Entonces yo tendría que encontrar una $\beta$ tal que $\beta > \alpha > -1$ donde $\beta$ es también un límite inferior?

Answer 1

La definición de " $\alpha$ es el infiumum de $A$" es:

• $\alpha \leq a$ todos los $a\in A$; y
• Si $\beta\gt \alpha$, $\beta$ no es un límite inferior para $A$; es decir, si $\beta\gt \alpha$, entonces no existe $a\in A$ tal que $\alpha\leq a\lt \beta$.

Así que, ya saben que para $A=\{(-1)^n + 1/n\mid n\in\mathbb{Z}^+\}$, $\alpha=-1$ es un límite inferior. Que son las conjeturas que es, de hecho, el infimum. Encontrar un sentido estrictamente mayor $\beta$ que es también un límite inferior sería, de hecho, muestran que no es el infimum, pero usted tendrá un tiempo difícil hacerlo directamente.

En su lugar, tratar de mostrar que si $\beta\gt -1$, entonces no existe $a\in A$$-1\leq a\lt \beta$. Que muestran que no hay ningún número mayor que $-1$ es un límite inferior.