Ante la sospecha de que un cálculo es incorrecto en mi libro

Question

Aquí hay algo que creo que sea incorrecto:

$V$ es una función de $C^{\infty}$ dos variables tales que $V(t,w) = e^{-rt} F(w)$, para algunos una variable $C^{\infty}$función $F$. Que $z = V_w (t,w)$ y definir una función $J$ tal que % $ $$ J(t,z) = V(t,w) - wz.$

Luego afirma que $J_t = V_t$.

(Pero me sale lo siguiente: $$J(t,z) = V(t,w) - w V_w (t,w) = e^{-rt} ( F(w) - wF'(w) ),$$ hence $% $$J_t= -r e^{-rt} ( F(w) - wF'(w) ) \neq V_t.)$

¿Alguien me puede decir que es correcto?

Answer 1

Utilizamos la definición de la derivada parcial para mostrar que esto es cierto. Explicaciones para las cuestiones de OP se sugieren en los comentarios.

$$\begin{align} Jt(t,z) &= \lim{\Delta t\rightarrow 0}\frac{J(t+\Delta t,w)-J(t,w)}{\Delta t}\ &=\lim{\Delta t\rightarrow 0}\frac{(V(t+\Delta t,w)-wz)-(V(t,z)-wz)}{\Delta t}\ &=\lim{\Delta t\rightarrow 0}\frac{V(t+\Delta t,w)-V(t,z)}{\Delta t}\ &=V_t(t,w) \end {Alinee el} $$