valores propios de sumas de matrices simétricas

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son matrices simétricas: $A,B \in S^n$ . Dejemos que $Y=A+B$ .

¿Cuál es la relación entre los valores propios de $Y$ y los valores propios de $A$ y $B$ ?

O,

¿Cualquier matriz no-singular $P$ existe tal que $P^{-1}AP$ y $P^{-1}BP$ son matrices diagonales en el mismo tiempo?

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Tal vez estoy en la dirección equivocada. Lo que necesito mostrar en el proceso de mi problema de tarea es: Supongamos que $A$ y $B$ son matrices semidefinidas positivas: $A,B \in S^n_+$ . Y $Tr(A+B)=1$ .

Dejemos que $Y=A-B$ . Estoy tratando de mostrar que ${\parallel Y \parallel}_{2*} \leq 1$ .

${\parallel Y \parallel}_{2*} = \sum\limits_{i = 1}^n {|{\lambda _i}(Y)|}$ es la suma de los valores absolutos de los valores propios de $Y$ .

Answer 1

Suponiendo que sepas $\|\cdot\|_{2*}$ es una norma matricial (que resulta serlo después de investigar un poco, aunque no sabría demostrarlo ahora mismo), se puede demostrar como sigue: En primer lugar, observemos que para las matrices semidefinidas positivas $P$ tenemos $\|P\|_{2*} = \mathrm{tr}(P)$ . Esto se cumple porque los valores propios de las matrices semidefinidas positivas son no negativos y porque para las matrices simétricas, la traza es igual a la suma de los valores propios. Entonces tenemos

$$ \|A-B\|_{2*} \leq \|A\|_{2*} + \|B\|_{2*} = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}(A+B) = 1 $$