Spivak Calculus 3rd ed. $|a + b| \leq |a| + |b|$

Question

Estoy trabajando a través del primer capítulo de Michael Spivak del Cálculo 3ª ed.

Hacia el final del capítulo la prueba de $ |a + b| ≤ |a| + |b| $ mediante la observación de que $|a|= \sqrt{ a^2 }$ al$a$$ ≥ 0 $ .

$ |a + b| ≤ |a| + |b| $

$$ (|a + b|)^2 = (a + b)^2 $$ $$= a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ ≤ a^2 + 2|a| |b| + b^2 $$ $$ = |a|^2 + 2|a| |b| + |b|^2 $$ $$ = (|a| + |b|)^2 $$

Estoy seguro acerca de lo que está pasando con el signo de igualdad. ¿Cómo ir de $=$ $≤$en la línea 3 cuando a y b son cambiados a su valor absoluto y de vuelta a $=$ otra vez en la línea 4 al $a^2$ $b^2$ han cambiado sus valores absolutos?

Answer 1

Para extender el comentario de Ted, Spivak afirma que:$$a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a| |b| + b^2$ $ (esto sigue porque$x \leq |x|$ para cada$x \in \mathbb{R}$) y que:$$a^2 + 2 |a| |b| + b^2 = |a|^2 + 2 |a| |b| + |b|^2$ $ (esto sigue porque$x^2 = |x^2| = |x|^2$ para todos$x \in \mathbb{R}$ desde$x^2 \geq 0$ para todos$x \in \mathbb{R}$).

A continuación, puede "unir estas instrucciones" para concluir que$$a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2 |a| |b| + |b|^2.$ $ (El principio general es$x \leq y$ y$y = z$ implica que$x \leq z$).

Espero que aclare tu confusión.

Answer 2

Deje$a=r_1(\cos A+i\sin A)$ y$b=r_2(\cos B+i\sin B)$

Y entonces $|a|=r_1$

Ahora, $|b|=r_2$

$|a+b|=\sqrt{(r_1\cos A + r_2\cos B)^2+(r_1\sin A + r_2\sin B)^2}$

$=\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2\cos(A-B)}$ como$≤\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2}\ $ para A, B real

$\cos(A-B)≤1$

También observe,$=r_1+r_2=|a|+|b|$ como$|a+b|=\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2\cos(A-B)}≥\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2}=||r_2|-|r_1||$ para A, B real

$\cos(A-B)≥-1$