Lema para $d(p,q)$ sea una métrica para $\mathbb{R}^1$ .

Question

Tengo este ejercicio en el que tengo que demostrar si o no $d(p,q)$ es una métrica para $X = \mathbb R^1$ y se me ha ocurrido este lema para ayudarme con ello. Necesito ayuda para demostrarlo (si es cierto).

Los requisitos para una métrica son que a) $d(p,q) > 0$ a menos que $p=q$ , b) $d(p,q) = d(q,p)$ y c) $d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)$ .

Lema. Esto funciona cuando $p,q$ sólo aparecen en la fórmula de $d(p,q)$ en el par $|p-q|$ por ejemplo $d(p,q) = \frac{|p-q|}{1 + |p-q|}$ et $X$ est $\mathbb{R}^1$ . Denotemos $f(x)$ sea la función $d(p,q)$ excepto $|p-q|$ sustituido por $x$ es decir, en el ejemplo anterior $f(x) = \frac{x}{1+x}$ . Entonces, si a) y b) son verdaderas, para que c) lo sea basta con que $f'(x) \geq 0$ et $f''(x) < 0$ para $x \geq 0$ . En otras palabras, $f(x)$ debe aumentar a un ritmo inferior o igual a una función lineal.

Pruebas. WLOG $p<q$ . Si $r\leq p\leq q$ o $p\leq q\leq r$ , $c)$ está claro porque $f'(x) \geq 0$ .

Así que considera $p<r<q$ . Sea $a = r-p$ , $b = q-r, a+b = q-p$ . Tenemos $f(a+b) \leq f(a) + f(b)$ porque $f'' \leq 0$ . Así $c)$ está demostrado. (Esta es la parte de la que no estoy seguro)

¿Es correcto este lema? ¿Es correcta la demostración?

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EDIT: Perfeccionamiento para el $p<r<q$ caso:

$f(a+b) \leq f(a) + f(b) \Leftrightarrow f(a+b) - f(b) \leq f(a) - f(0)$

Tenemos que $\displaystyle \int_{b}^{a+b} f' \leq \int_0^a f'\Leftrightarrow f(a+b) - f(b) \leq f(a) - f(0)$ . Sea $A_{f,x,y}$ representan el valor medio de $f$ de $x$ a $y$ . Desde $f'' \leq 0$ , $f'$ es no creciente, por lo que $A_{f',b,a+b} \leq A_{f',0,a}$ . Además $\displaystyle \int_a^b f = (b-a)A_{f,a,b}$ Así que $\displaystyle \int_{b}^{a+b} f' \leq \int_0^a f'$ .

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EDITAR Creo que el lema también es bicondicional.

Dado: Una métrica $d(p,q)$ descrito anteriormente en el que sólo hay $|p-q|$ .

Si: $a)$ retenciones, $f' \geq 0$ y $f'' \leq 0$ para $x \geq 0$

Entonces: $d$ es una métrica.

Más arriba ya he demostrado el caso delantero. Para el caso hacia atrás voy a demostrar la inversa.

Si: no se cumple alguno de los requisitos anteriores

Entonces: $d$ no es una métrica.

Si $a)$ no se sostiene, entonces claramente no es una métrica.

Si $f' < 0$ entonces por $a)$ comienza en $f(0)=0$ así que $f$ pasa a ser negativo, por lo que $a)$ no se mantiene, por lo que no es una métrica.

Si $f' > 0$ entonces $A_{f', b, a+b} > A_{f', 0, a}$ por lo que la igualdad integral anterior para $c)$ no se cumple, por lo que no es una métrica.

Answer 1

Tu idea de mostrar un resultado más abstracto es buena, pero debes ser más preciso tanto en la formulación como en la demostración de tu lema. La afirmación que quieres demostrar es cierta, aunque no tienes por qué exigir $f$ sea no decreciente: toda función cóncava no negativa debe ser no decreciente (véase más adelante).

El problema con tu enunciado del lema en sí es que la primera parte es puramente verbal y que partes de la prueba ya están incluidas en el enunciado. Primero necesitas formalizar que tu lema es sólo sobre métricas donde los argumentos $p$ et $q$ aparecen como $|p-q|$ . Su técnica de comenzar con una métrica $d$ y luego tratar de "extraer" una función $f$ tal que $d(p, q) = f(|p-q|)$ es difícil de formalizar porque no todas las métricas pueden escribirse de esta manera.

Puedes evitarlo cambiando de perspectiva. Empiece con una función $f$ y luego definir la métrica $d(p,q) := f(|p-q|)$ - Diré que $f$ induce la métrica $d$ en este caso. Ahora vemos de qué trata realmente tu lema, matemáticamente: Usted da condiciones suficientes para $f$ tal que $d$ es una métrica. Tienes que ser muy preciso sobre cuáles son tus condiciones en $f$ son. Para empezar, el dominio y el rango deben ser ambos $\mathbb R_{\geq 0} := [0, \infty)$ para que su métrica sea no negativa. Como se trabaja con propiedades analíticas de $f$ como $f''(x) < 0$ también se necesita diferenciabilidad (tecnicismo: $\mathbb R_{\geq 0}$ es un conjunto cerrado).

Ahora tienes que repasar las propiedades de tu métrica y comprobar cuidadosamente si se cumplen. La simetría es evidente por definición, pero la definitividad, es decir $d(p, q) = f(|p-q|) = 0 \Leftrightarrow p = q$ ya no es tan evidente. Para que se sostenga hay que exigir $f(0) = 0$ y que $f(x) \neq 0$ para $x > 0$ . Esto último se deduce de su requisito de que $f$ debe ser estrictamente cóncava, pero tu prueba carece de argumentos para ello ( $f \equiv 0$ es una función cóncava no decreciente que no induce una métrica).

La desigualdad del triángulo es realmente el corazón de tu lema, así que deberías intentar no omitir ningún paso aquí. Tienes razón al observar que la subaditividad de $f$ es decir $f(a+b) \leq f(a) + f(b)$ para todos $a, b \in \mathbb R_{\geq 0}$ es crucial. Usted quiere demostrar $$ d(p, q) \leq d(p, r) + d(r, q) $$ que equivale a $$ f(|p-q|) \leq f(|p-r|) + f(|r-q|).$$ En lugar de hacer una prueba por casos para $p, q, r$ también se puede utilizar la desigualdad triangular de $|\cdot|$ y que $f$ es no decreciente: $$ |p - q| = |p-r+r-q| \leq |p -r| + |r-q| \Rightarrow f(|p-q|) \leq f(|p-r| + |r-q|).$$ (Esto también funciona si sustituye $|\cdot|$ por cualquier otra métrica, véase el lema siguiente).

Ahora hay que utilizar la subaditividad de $f$ en el último término de la derecha. Tu prueba de eso contiene todos los ingredientes correctos, pero no entiendo muy bien cómo los juntas (y por qué usas promedios). Para mí la propiedad de que $f'$ es no creciente, debido a $f'' < 0$ implica la desigualdad integral para $f'$ y entonces puedes usar el teorema fundamental del cálculo (observa de nuevo cómo necesitas $f(0) = 0$ ).

Tu afirmación de que tu lema es efectivamente una equivalencia es falsa. Formalmente tienes que tener mucho cuidado con lo que eso significa: ¿Es cualquier función que induce una métrica en $C^2$ y cumple sus condiciones? ¿O cualquier $C^2$ -que induce una métrica satisface sus condiciones? De todos modos, tu prueba asume que la negación de $f' \geq 0$ est $f' < 0$ pero esto es falso. $f' \geq 0$ es la abreviatura de $\forall x \in \mathbb R_{\geq 0}\colon f'(x) \geq 0$ por lo que la negación correcta es $\exists x \in \mathbb R_{\geq 0}\colon f'(x) < 0$ . De ahí que su métrica no tenga por qué volverse negativa. Lo mismo se aplica a su $f'' < 0$ argumento.

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Para terminar, permítanme enunciar otro lema que es una generalización del suyo:

Lema. Sea $f\colon \mathbb R_{\geq 0} \to \mathbb R_{\geq 0}$ donde $\mathbb R_{\geq 0} := [0, \infty)$ . Sea $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ et $f$ sea cóncava, es decir, para cualquier par $x$ , $y \in \mathbb R_{\geq 0}$ tiene $$f(\theta x + (1-\theta) y) \geq \theta f(x) + (1-\theta) f(y) \quad \forall \theta \in [0, 1].$$ Entonces $d_f(p, q) := f(| p - q|)$ es una métrica en $\mathbb R$ . O de forma más general: Para cualquier espacio métrico $(X, d_X)$ la función $d_f(x, y) := f(d_X(x, y))$ es otra métrica en $X$ .

La demostración de este lema es similar a la tuya. Hay que demostrar que $f$ es no decreciente y subaditiva. Para ver que toda función cóncava no negativa es no decreciente se puede, por ejemplo, trabajar con un argumento de contradicción. Si dibujamos la situación veremos que $f$ debe volverse negativo en este caso en algún momento. Formalmente: Si suponemos que existe $a < b$ tal que $f(a) > f(b)$ tú eliges $c > b$ y expresar $b$ como una interpolación lineal entre $a$ et $c$ . Entonces se puede utilizar la concavidad de $f$ para obtener una desigualdad para cada $c$ . Si toma $c$ suficientemente grande esto llevará a una contradicción.