Aplicación del teorema del mapa espectral

Question

Dejemos que $T:L^2((0,2)\rightarrow L^2((0,2))$ , $(Tx)(t):=\begin{cases} x(t+1), & 0<t<1\\ 0,& \text{elsewhere} \end{cases} $

Demostrar que $T$ está bien definida y $\sigma(T)=\sigma_p(T)=\{0\}$

Es fácil ver que $(Tx)(t)\in L^2((0,2))$ si $x(t)\in L^2((0,2))$ .

Y ahora tengo que demostrar la otra afirmación utilizando el teorema del mapeo espectral, que dice que $\sigma(f(T))=f(\sigma(T))$ con $f\in C(\sigma(T))$ .

¿Puede alguien darme un consejo?

Answer 1

Una pista:

Consideremos el polinomio $f(X)=X^2.$