Diferenciación continuo iff dominio es finito dimensional

Question

<blockquote> <p>Que $A\subset C([0,1])$ un subespacio lineal cerrado con respecto a la norma del supremum generalmente satisfacer $A\subset C^1([0,1])$. ¿$D\colon A\rightarrow C([0,1]), \ f\rightarrow f'$ Continuo iff $A$es finito dimensional?</p> </blockquote> <p>Si $A$ es finito dimensional $D$ es continua. ¿Pero la otra verdadera implicación en todo? ¿No sería algo así como $A:=\overline{\text{span}\{\sin{\left(t+\frac{1}{n}\right)} \ | \ n\in\mathbb{N}\}}$ un contraejemplo?</p>

Answer 1

Desde el foro de discusión para profesionales anteriormente se deduce que es suficiente para mostrar equicontinuiuty de $\mathrm{Ball}_A(0,1)$ $D$ es continua.

Fix $\varepsilon>0$ y tome $\delta=(2\Vert D\Vert)^{-1}\varepsilon$. Del valor medio teorema se sigue que, para todos los $x_1,x_2\in [0,1]$ tal que $|x_2-x_1|\leq\delta$ y todos los $f\in\mathrm{Ball}_A(0,1)$ hemos $$ |f(x_2)-f(x_1)|=|f'(\xi)(x_2-x_1)|=|f'(\xi)||x_2-x_1|\leq\Vert f'\Vert_\infty\delta\leq $$ $$ \Vert D\Vert\Vert f\Vert_\infty\delta\leq\Vert D\Vert\cdot 1\cdot \frac{\varepsilon}{2\Vert D\Vert}<\varepsilon $$ Esto significa que $\mathrm{Ball}_A(0,1)$ es equicontinuous.