Cada representación de un número finito de grupos se descompone en representaciones irreducibles

Question

Estoy teniendo problemas para entender esta proposición a partir de la primera conferencia en Fulton y Harris' teoría de la representación libro:

La proposición 1.8. Para cualquier representación $V$ de un grupo finito $G$, hay una descomposición $$V = V_1^{\bigoplus a_1}\oplus\cdots\oplus V_k^{\bigoplus a_k}$$ where the $V_i$ are distinct irreducible representations. The decomposition of $V$ into a direct sum of the $k$ factors is unique, as are the $V_1$ that occur and their multiplicities $a_i$.

(escaneado original)

¿Cómo debo entender la $k$ factores en la suma directa? Debo pensar de $V_i^{\oplus a_i}$ como específicos subespacio de $V$? Es decir, es $V$ únicamente descomponible en estos $k$ $G$-subespacios invariantes de $V$, cuya suma directa es $V$? O podría el correspondiente $V_i^{\oplus a_i}$ a partir de dos diferentes descomposiciones simplemente ser isomorfo, en lugar de idéntico?

Answer 1

Lo que es único es la descomposición de una representación (sobre un campo de carácter no dividiendo $|G|$) en sus componentes isotypic

$$V \cong \bigoplus_{\lambda} V_{\lambda}$$

donde $\lambda$ denota una representación irreducible y $V_{\lambda}$ denota la suma de todos los subespacios de $V$ isomorfo a $\lambda$. Por ejemplo, si $G = \mathbb{Z}_2$, entonces hay dos isotypic componentes, el "aun" que corresponde a la representación trivial y el "impar" correspondiente a la señal de la representación. Más generalmente, si $G = \mathbb{Z}_n$ hay $n$ isotypic componentes, uno para cada una de las $n^{th}$ raíz de la unidad, que puede ser pensado como los subespacios propios de un generador de $G$ actuando en $V$.

Cada isotypic componente $V_{\lambda}$ contiene algún número $k_{\lambda}$ de los ejemplares de la representación irreducible $\lambda$, la cual está determinada únicamente como debe de ser $\frac{\dim V_{\lambda}}{\dim \lambda}$. La posterior descomposición de $V_{\lambda}$ en una suma directa de $k$ copias de $\lambda$, sin embargo, no es único; es más o menos equivalente a la elección de una base de la multiplicidad de espacio $\text{Hom}(\lambda, V)$. Por ejemplo, si $V$ es trivial, la descomposición de la $V$ como una suma directa de copias de la trivial representación es más o menos equivalente a la elección de una base de $V$.

Lo que Fulton y Harris significa "único" es el más débil de la declaración de que el isomorfismo clases de representaciones irreducibles $\lambda$ que se producen están unívocamente determinados, como son sus multiplicidades $k_{\lambda}$. Ello no significa que los subespacios en los que la descomposición son únicos subespacios, porque no están en la presencia de multiplicidades mayor que $1$.