¿Por qué $i ( LK-KL )$ representan una cantidad real?

Question

Según mi libro de texto, se dice que el $i( LK-KL )$ representa una cantidad real al $K$ $L$ representan una cantidad real. $K$ $L$ son matrices. Se dice que esto es debido a que de las reglas básicas. Sin embargo, yo no era capaz de recordar mis recuerdos. ¿Alguien puede demostrar la prueba de esto?

Answer 1

La declaración es que, si $K$ $L$ son Hermitian operadores de $$ K = K^\dagger, \quad L = L^\dagger$$ y eso implica que los autovalores de a $K,L$ son reales y los vectores propios con diferentes valores propios son ortogonales a cada otro, entonces el $i(KL-LK)$ (el mismo que el tuyo) es también Hermitian. Esto es demostrado fácilmente mediante el cálculo de la Hermitian conjugado de esta $i(KL-LK)$, porque el resultado es el mismo que este mismo operador: $$ [i(KL-LK)]^\dagger = i^\dagger (KL-LK)^\dagger = (-i) (L^\dagger K^\dagger - K^\dagger L^\dagger) = (-i)(LK-KL) = i(KL-LK).$$ Yo solía $(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$$i^\dagger = i^* = -i$.

Answer 2

Si $K$ $L$ representan cantidades, significa que no cambian en virtud de Hermitian conjugación. El uso de este y de las propiedades de Hermitian conjugación a probar el mismo para $-i(LK-KL)$.