¿Por qué la suma de los cuadrados de las raíces de la $n$ésimo polinomio de Hermite es igual a $n(n-1)/2$?

Question

Cómo probar que la suma de los cuadrados de las raíces de la $n$ésimo polinomio de Hermite es $\frac{n(n-1)}{2}$?

He probado con las fórmulas de Vieta, pero es difícil. Agradezco una prueba o referencia de la misma. Una idea es utilizar la definición de suma de polinomios de Hermite, pero no lo sé.

Answer 1

Vamos a escribir \begin{align}H_n(x)&=A_n(x-x_1)\ldots(x-x_n)=\\ &=A_n\left(x^n-e_1(x_1,\ldots,x_n)x^{n-1}+e_2(x_1,\ldots,x_n)x^{n-2}+\mathrm{poly}_{n-3}(x)\right),\tag{1} \end{align} donde $e_k(x_1,\ldots,x_n)$ denotar primaria simétrica polinomios: \begin{align} & e_1(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{k=1}^nx_k,\\ & e_2(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{1\leq i<j\leq n}^n x_ix_j. \end{align}

Queremos encontrar $$\sum_{k=1}^{n}x_k^2=e_1^2(x_1,\ldots,x_n)-2e_2(x_1,\ldots,x_n),\tag{2}$$ y por lo tanto será suficiente para conocer los coeficientes de $x^n$, $x^{n-1}$ y $x^{n-2}$$H_n(x)$. Pero puede ser determinado a partir de la serie de las representaciones de los polinomios de Hermite: $$H_n(x)=2^n\left(x^n-\frac{n(n-2)}{4}x^{n-2}+\mathrm{poly}_{n-4}(x)\right).\tag{3}$$

Junto con (1) y (2), esto da el resultado: $$\sum_{k=1}^{n}x_k^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$