He terminado la totalidad del problema, excepto la 5ª parte. A grandes rasgos las preguntas para demostrar que más de $\mathbb{R}$ demostrar/refutar que la función de distancia
$$ d_5(x,y) = \frac{|x-y|}{1 + |x-y|} $$
Es una métrica. He probado la simetría y me han demostrado que si $d_5(x,y) = 0$ que $x = y$, por lo que todo lo que queda demostrado es la desigualdad de triángulo a saber :
$$ \frac{|x-y|}{1 + |x-y|}+ \frac{|y-z|}{1 + |y-z|} \ge \frac{|x-z|}{1 + |x-z|} $$
Por supuesto, esto puede ser echado de forma más simple en términos de $u,v$ $\mathbb{R}$
$$ \frac{|u|}{1 + |u|}+ \frac{|v|}{1 + |v|} \ge \frac{|u+v|}{1 + |u+v|} $$
Esto me recuerda a un montón de estilo de concurso de las desigualdades, pero no puedo por el amor de dios el lugar que uno es (no debería importar, yo debería, idealmente, ser capaz de generar una prueba con facilidad).
A mi un ángulo de ataque fue a hacer caso de trabajo en la fijación de $u,v$ a ser ambos positivos o ambos negativos, o una mezcla de positivo y negativo. Pero hay una manera más fácil de proceder de eso?
