Ejemplos de conjuntos incontables con medida de Lebesgue nula

Question

Me gustaría tener ejemplos de subconjuntos incontables de $\mathbb{R}$ que tienen medida de Lebesgue nula y no se obtienen por el conjunto de Cantor.

Gracias.

Answer 1

Denote $E_2^c =$ el conjunto de los números reales $x$ en el intervalo $[0, 1]$ tal que en la forma decimal de $x = 0.i_1 i_2 i_3 \dots$ no hay dígitos $2$ .

Escribe $x \in E_2^c$ en forma decimal $$ x = 0. i_1 i_2 i_3 \dots, \ \ i_k = 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ \ x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{i_k}{10^k}, $$ y asumir que el primer dígito $2$ recursos en $k$ decimal de $x$ .

Denote $E_{2,1}$ como el conjunto de números reales $x$ en el intervalo $[0, 1]$ tal que el primer dígito $2$ recursos en $1$ decimal de $x$ : $E_{2,1} = \{x | x = 0. 2 \dots\} = [0.2, 0.3)$ , entonces $m(E_{2,1}) = 10^{-1}$ ;

Denote $E_{2,2}$ como el conjunto de números reales $x$ en el intervalo $[0, 1]$ tal que el primer dígito $2$ recursos en $2$ decimal de $x$ : $E_{2,2} = \{x | x = 0. i_1 2 \dots\} = \cup_{i_1} [0.i_1 2, 0.i_1 3)$ , $i_1 \in \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , entonces $m(E_{2,2}) = 9 \times 10^{-2}$ ;

Inductivamente, \begin{align} E_{2,k} &= \{x | x = 0. i_1 \dots i_{k-1} 2 \dots\} \\ &= \cup_{i_1, \dots, i_{k-1}} [0. i_1 \dots i_{k-1} 2, 0. i_1 \dots i_{k-1} 3), \end{align} donde $i_1, \dots, i_{k-1} \in \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , entonces $m(E_{2,k}) = 9^{k-1} \times 10^{-k}$ ;

Definir $E_2 =$ el conjunto de los números reales $x$ en el intervalo $[0, 1]$ tal que en la forma decimal de $x = 0.i_1 i_2 i_3 \dots$ hay dígitos $2$ .

Entonces la medida de $E_2$ es $$ m(E_2) = m(\cup_{k=1}^{\infty} E_{2,k}) = \sum_{k=1}^{\infty} m(E_{2,k}) = \sum_{k=1}^{\infty} 9^{k-1} \times 10^{-k} = 1. $$

Así, la medida de $E_2^c$ es $$ m(E_2^c) = m([0, 1] \setminus E_2) = m([0, 1]) - m(E_2) = 1 - 1 = 0. $$