Encontrar todas las soluciones racionales a $x^2+y^2=2$

Question

Encontrar todas las soluciones racionales a $x^2+y^2=2$

Reescribí la ecuación de a$x= \sqrt{2-y^2}$, y pensó que $x$ es racional si y sólo si $2-y^2$ es un cuadrado. Así que la única solución para el primer problema es $x=1$ o $-1$ $y=1$ o $-1$.

Hay otro enfoque? Gracias.

Edit: Otra pregunta: ¿hay tal vez una manera de mostrar esta usando curvas elípticas?

Answer 1

Dado cualquier racional $$ u^2 + v^2 = 1,$$ encontramos $$ (u-v)^2 + (u+v)^2 = 2 $$

Mientras tanto, dado cualquier entero terna Pitagórica $$ a^2 + b^2 = c^2, $$ obtenemos racional $$ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1 $$

A partir de los comentarios de arriba, supongo que debo añadir que todos los primitivos soluciones en los enteros a $x^2 + y^2 = 2 z^2,$ ya que eso significa $x \equiv y \pmod 2$ $z$ impar, por lo que tenemos $$ \left( \frac{x-y}{2} \right)^2 + \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 = z^2 $$ en números enteros y primitivo. Podemos encontrar todos estos con el estándar parametrización para la primitiva ternas Pitagóricas.

Answer 2

Ya que usted ya tiene una solución racional, una estrategia es encontrar una línea racional de la pendiente que pasa por ese punto. La línea también se cruzan la curva en un segundo lugar, lo cual le da otra solución (a menos que la línea es tangente a la curva.) Esto es similar a la de curvas elípticas cuando nos encontramos con la línea a través de 2 puntos para encontrar un tercer punto.

Deje $m$ ser un número racional, encontrar la recta con pendiente $m$ que pasa por el punto de $(1,1)$:
$y=m*x+(1-m)$.
Conecte esta de vuelta en la curva para obtener
$x^2+(m*x+(1-m))^2=2$
Resolver para $x$, para encontrar $x=\frac{m^2-2m-1}{m^2+1}$.
Enchufe este de nuevo en la ecuación para la línea de $y=\frac{m^2+2m-1}{m^2+1}$
Así, obtenemos una solución racional para cualquier número racional $m$.
Convencerse de que esto genera cada solución racional (a excepción de la una con una línea vertical, $(1,-1)$).

Answer 3

Deje $\cal P$ el conjunto de puntos racionales en el círculo de la $\Gamma:x^2+y^2=1$. Es bien sabido que $\cal P$ es denso en $\Gamma$ y $$(a,b)\in \cal P \iff \left(\frac{a+b}{\sqrt 2}, \frac{a-b}{\sqrt 2}\right)\in \Gamma$$ El segundo hecho es debido a la parametrización de las ternas Pitagóricas y la simple verificación de $$\left(\frac{2st}{s^2+t^2}, \frac{ s^2-t^2}{ s^2+t^2}\right)\in \cal P \iff \left(\frac{s(2t+s)-t^2}{\sqrt 2(s^2+t^2)}\right)^2+\left( \frac{t(2s+t)-s^2}{\sqrt 2(s^2+t^2)}\right)^2=1$$ Esto le da una parametrización de las soluciones y muestra que el conjunto de estos es denso en el círculo de $\Gamma$ también (porque a cada elemento de a $\cal P$ se asocia a una solución y recíprocamente). El conjunto de soluciones es de $t,s$ racional con $st\ne 0$

$$\begin{cases}x=\frac{s(2t+s)-t^2}{(r^2+t^2)}\\y=\frac{t(2s+t)-s^2}{(r^2+t^2)}\end{cases}$$