¿Para qué tipo de conjuntos, la función de distancia es diferenciable?

Question

Si $ \Omega $ es un subconjunto cerrado $ \mathbb {R}$ entonces la función de distancia $$f \colon \mathbb {R} \rightarrow\mathbb {R}, \,\,\,\, x \mapsto d( \Omega ,x),$$ es ciertamente una función continua. Una propiedad interesante de esta función es que, los puntos donde $f$ desaparece es precisamente el conjunto cerrado $ \Omega $ . Sin embargo, esta función no es necesariamente diferenciable: cuando $I=\{0\}$ Entonces $f(x)=|x|$ que no se puede diferenciar en $0$ .

Mi pregunta es, ¿podemos encontrar otros conjuntos agradables no cerrados (como conjuntos abiertos, o algunos otros) $ \Omega $ por lo cual $f$ arriba se convertirá en una función diferenciable en $ \mathbb {R}$ ? ¿Podemos caracterizar tales conjuntos?

(Los ejemplos obvios serían subconjuntos densos de $ \mathbb {R}$ por lo cual $f$ será una función constante $0$ .)

Answer 1

Intento una respuesta.

Supongamos que $f(x)=d(x, \Omega )$ es diferenciable, y $ \overline { \Omega }$ no es igual a $ \mathbb {R}$ . Deje que $U= \mathbb {R}- \overline { \Omega }$ y $]u,v[$ un componente conectado de $U$ tenemos $u,v \in \overline { \Omega }$ .

Entonces para $x \in ] \frac {u+v}{2},v]$ Tenemos $f(x)=v-x$ Por lo tanto $f^{ \prime }(x)=-1$ . En particular, tenemos $f^{ \prime }(v)=-1$ . Entonces para $|x-v|$ pequeño, $x \not =v$ Tenemos $ \displaystyle \frac {f(x)-f(v)}{x-v} \leq - \frac {1}{2}$ . Por lo tanto, como $f(v)=0$ para $x>v$ , $x-v$ pequeño, conseguimos $f(x)<0$ una contradicción. El caso de $]- \infty ,v[$ y $]u,+ \infty [$ se puede demostrar que conduce a una contradicción de la misma manera. Así que $ \overline { \Omega }$ debe ser igual a $ \mathbb {R}$