Prueba de

Question

Que $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ y $p \in (a,b)$.

Probar la siguiente implicación, estoy seguro un paso

$\displaystyle \lim{x \to p+}f(x) = l \land \lim{x \to p-}f(x) = l \implies \lim_{x \to p}f(x) = l$

Supongamos que $\displaystyle \lim{x \to p+}f(x) = l $ y $\displaystyle \lim{x \to p-}f(x) = l$ nos han dado $\epsilon > 0$

$\exists \delta_1 > 0 : \forall x \in (a,b)$ $0

$\exists \delta_2 > 0 : \forall x \in (a,b)$ $- \delta_2

Conjunto de $\delta = \min { \delta_1 , \delta_2 }$

Este paso parece intuitivamente obvio, es suficiente para decir que

$\forall x \in (a,b)$ $0

desde $\delta \leq \delta_1, \delta_2$

Lo siento si esto es una cuestión trivial.

Answer 1

Esto es correcto, la prueba no es perfecta, pero lo suficientemente clara y comprensible. Para ser más precisos, usted podría terminar que el paso de la siguiente manera (he exagerado un poco para señalar que mi intención):

Queríamos demostrar que no existe un determinado $\delta$ cualquier $\varepsilon > 0$:

$$\forall \varepsilon > 0.\ \exists \delta > 0.\ \forall x \in (a,b).\ 0 < |x - p| < \delta \implies |f(x) - l| < \varepsilon. \tag{$\spadesuit$}$$

Deje $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$ donde $\delta_1$ $\delta_2$ vienen de la asunción de este particular $\varepsilon$ (esta dependencia es importante, porque las diferencias no son cualquier particular constantes, sino que dependen de la épsilon).

Ahora, $|x - p| \leq \delta$ implica $|x - p| \leq \delta_1$$|x - p| \leq \delta_2$, por lo tanto $|f(x) - l| < \varepsilon$. Por lo tanto, el $\delta$ como se definió anteriormente satisface las condiciones de $(\spadesuit)$, es decir, hemos demostrado la existencia mediante la construcción de un elemento adecuado.

Para resumir:

1. Tienes que tener en cuenta la dependencia entre el$\delta$$\varepsilon$.
2. Cuando se trata de un cuantificador existencial, en lugar de manera informal la configuración de la variable a algo, probar su existencia por construcción, por ejemplo, "existe debido a que la fórmula calcula un número que tiene todas las propiedades necesarias".

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$