Su libro está discutiendo en qué casos se puede dar algunos datos de entrada-salida de los pares para un desconocido transformación de $T$ y puede averiguar lo $T$ tiene que ser de estos. Esto es, puede decidir si hay más de una opción de $T$ que habría de entrada-salida de los pares, o es que hay sólo una opción posible para $T$?
Lo que la frase está diciendo es que, si se dan las salidas de $T$ para una colección de vectores de entrada que constituye una base para todo el dominio de la $T$, entonces usted sabe lo $T$ debe ser en todos los vectores en el dominio. Es decir, usted puede averiguar exactamente lo $T$ es, y solo puede ser de una posible transformación. Esto se desprende de lo que significa ser una transformación lineal.
Si sólo te da información acerca de lo $T$ lo hace a algunos de los vectores de la base, pero no todos, entonces hay varias opciones para lo $T$ podría ser, porque no reciben suficiente información. En ese caso, usted no puede averiguar lo $T$ es.
Los ejemplos son acerca de si podemos averiguar lo que el desconocido transformación lineal $T$ es, dado un par de sus valores.
El primer ejemplo se ve como una transformación lineal $T$ definido en el espacio vectorial de rectas en el plano: $\{ax+b\mid a,b\in \mathbb{R}\}$, y la asignación de puntos en el plano. Te han dicho lo que hace a las dos líneas, $9x+5$$7x+4$. La pregunta pertinente aquí es: ¿Es suficiente la información para decidir qué $T$ lo hace a cada línea en el plano? Su libro señala que esta información es suficiente, debido a que cada línea en el plano se puede expresar como una combinación lineal de estas dos líneas. Eso significa que las dos líneas se le dio el valor de $T$ en formar una base para el espacio que consta de todas las líneas. Desde $T$ es una transformación lineal, se determina por su valor en estos vectores de la base.
El segundo ejemplo es una transformación lineal que va en el sentido contrario: envía puntos en el plano de las líneas en el plano. Te dicen el valor de dos puntos, y de nuevo, la pregunta pertinente es si esto es suficiente información para decidir lo $T$ lo hace en cada punto. El libro señala que no es suficiente, ya que podemos encontrar de dos transformaciones lineales que tenga la misma entrada-salida de los pares. Eso significa que estas de entrada-salida de los pares no identifican a la transformación de $T$ de la que estamos hablando. No podemos averiguar lo $T$ es en este caso. La razón es que los puntos de entrada $(2,1)$ $(6,3)$ no forman una base para el plano.
En cuanto a los autores encontraron los dos posibles transformaciones para el segundo ejemplo: tengo una idea, y es en relación a todo esto, pero no estoy seguro de cuánto usted sabe todavía. Leer si quieres. Ellos pueden haber utilizado ese si es un punto de $(a,b)$ es asignado por una transformación lineal a una línea de $mx+c$, $m$ tiene que ser una combinación lineal de $a$$b$, e $c$ tiene que ser un (posiblemente diferente) combinación lineal de $a$$b$. El uso de las restricciones (la entrada-salida de los pares) tenemos, esto nos permite establecer un sistema de ecuaciones. Debemos tener eso para algunos coeficientes de $c_1, c_2, c_3, c_4$:
1) $c_1(2) + c_2(1) = 4$
2) $c_3(2) + c_4(1) = 5$
3) $c_1(6) + c_2(3) = 12$
4) $c_3(6) + c_4(3) = 15$
Esto nos permite establecer una matriz ampliada:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 5 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 12 \\
0 & 0 & 6 & 3 & 15 \\
\end{pmatrix}
$$
Usted podría notar que la 3ª fila es un múltiplo de la primera, y la cuarta es un múltiplo de la segunda, por lo que esto se reduce a una matriz de rango 2. Que deja a los 2 parámetros libres para nosotros, para variar, y libre de estos parámetros que corresponden a las opciones que tenemos en los próximos posibles transformaciones. Los autores probable que acaba de seleccionar algunos parámetros. Sin embargo, podría tener sólo adivinar-y-marcada.
En contraste, usted encontrará que si usted trató de repetir esta idea matriz con el primer ejemplo, que acabaría con un completo rango de la matriz. No habría parámetros libres. Mirando por encima de la matriz por un tiempo que podría dar una mayor comprensión de lo que sucede cuando los valores de entrada son o no son linealmente independientes.
