Enteros y fracciones.

Question

Cada uno de los números $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ y $9$ se utiliza una vez para rellenar uno de los variables de la ecuación siguiente para que sea correcta. De las tres fracciones que se suman, ¿cuál es el valor de la mayor?

$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{c}{de}+\dfrac{f}{gh}=1$

He probado a poner diferentes combinaciones de los números $2$ a $9$ en los espacios en blanco, pero no me lleva a ninguna parte. ¿Hay alguna forma más inteligente de responder a esta pregunta?

Answer 1

Puesto que ningún otro número comparte un divisor común con $5$ y $7$ deben estar en el numerador. Por lo tanto $c = 5$ y $f = 7$ :

$$\frac{1}{ab} + \frac{5}{de} + \frac{7}{gh} = 1$$

Empecemos por la fracción con el numerador mayor: $\displaystyle \frac{7}{gh}$ . Sin embargo, $ \displaystyle \frac{7}{2 \cdot 3}$ ya es mayor que $1$ .

Después de la siguiente mayor elección, $\displaystyle \frac{7}{2 \cdot 4}$ los números que quedan son $3, 6, 8, 9$ . Existen $\displaystyle {4 \choose 2} = 6$ posibilidades, pero como la adición es comunitaria, sólo hay $3$ posibilidades. Éstas son:

$$\frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{5}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8}$$ $$\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{5}{6 \cdot 9} \ne \frac{1}{8}$$ $$\frac{1}{3 \cdot 9} + \frac{5}{6 \cdot 8} \ne \frac{1}{8}$$

Por lo tanto, $$\frac{1}{3 \cdot 9} + \frac{5}{6 \cdot 8} + \frac{7}{2 \cdot 4} = 1, $$

y el valor de la fracción mayor es $\frac{7}{8}$ .