Raíz cúbica épsilon a prueba de delta

Question

Estoy revisando esta prueba del delta de épsilon para la continuidad de la raíz cúbica:

pero no puedo ver por qué es tan evidente que $ \sqrt [3]{x^2}+ \sqrt [3]{xc}+ \sqrt [3]{c^2} \ge \sqrt [3]{c^2}$ . ¿Alguna ayuda, por favor? Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que $c\neq0$ . Por lo tanto, si $x$ está lo suficientemente cerca de $c$ , $x$ y $c$ tendrán el mismo signo y por lo tanto $xc>0$ . Por lo tanto, $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{cx}>0$ y esto implica que $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{cx}+\sqrt[3]{c^2}>\sqrt[3]{c^2}$ .

Answer 2

Obsérvese que para el denominador, $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{c^2}=x^{2/3}+c^{2/3}\geq 0$ Así que $|g(x)-g(c)|\geq\frac{|x-c|}{|cx|^{1/3}}$ .

Ahora podemos limitar $|x|$ por (si $|x-a|<\delta$ lo que podemos hacer eligiendo $\delta$ como el mínimo de 2 números) $|x|<2|a|$ (demuéstralo como un buen ejercicio para trabajar con límites) , por lo que se deduce que podemos acotar

$$|g(x)-g(c)|\leq\frac{|x-c|}{|c|^{2/3}}$$ y podemos utilizar el $\epsilon-\delta$ definición fácil de probar $g$ es continua