En un director ideal anillo, es todo distinto de cero el primer ideal maximal?

Question

Inspirado por esta pregunta, me preguntaba si de sólo la hipótesis de que la $A[X]$ es un trivial (propiedad conmutativa) director de ideal del anillo (así, sin suponer que se trata de un dominio) se puede deducir que $A$ es un campo. Una posibilidad para demostrar que sería utilizar el hecho, si es uno, que, en principio, ideal anillos distinto de cero el primer ideales son máximas. Es decir, si $\def\p{\mathfrak p}\p\subset A$ es un alojamiento ideal, a continuación,$(A/\p)[X]$, que es un cociente de $A[X]$ que es una parte integral de dominio, pero no un campo, tendría que ser $A[X]$ sí, por lo $\p=(0)$, e $A$ no tener distinto de cero el primer ideales tendría que ser un campo.

Creo que puedo probar esto, pero la verdad no me gusta el argumento que he encontrado, y ya algebra conmutativa con divisores de cero no es mi especialidad, yo podría haber disparado. Así que mi pregunta es son de la proposición y su prueba por debajo de lo correcto, y si es así ¿hay un más elemental de la prueba?

En particular, he intentado, bajo la hipótesis de que $R$ es uno de los principales ideales del anillo y $\p\subset R$ un alojamiento ideal, y suponiendo $R\supset I=xR\supset\p=pR$, el uso de la existencia de $y$$xy=p$, para llegar a una contradicción; pero de $\p$ primer solo obtengo $yR=pR$, y ya que los anillos con divisores de cero principales ideales de mayo de concide sin su generadores de ser asociados, No veo cómo concluir.

(Propuesta pero falsa) La proposición. Cualquier valor distinto de cero el primer ideal $\p$ de un director ideal anillo de $R$ es máxima en $R$.

Prueba. De acuerdo a la Zariski-Samuel teorema $R$ es isomorfo a un número finito producto directo de los anillos que son de un director ideal de dominio o a un director de anillo. De todos los ideales $I$ de un número finito de producto $R_1\times\cdots\times R_n$ es igual a un producto de $I_1\times\cdots\times I_n$ de los ideales de los respectivos anillos, donde $I_k$ es la proyección de $I$ $R_k$(claramente $I\subseteq I_1\times\cdots\times I_n$, pero también se $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)I=\{0\}\times\cdots\{0\}\times I_k\times\{0\}\times\cdots\times\{0\}\subseteq I$) y desde un producto de más de un trivial anillo nunca es una parte integral de dominio, $\p$ tiene que ser de la forma $R_1\times\cdots\times R_{k-1}\times\p_0\times R_{k+1}\times\cdots\times R_n$ donde $\p_0\subset R_k$ es un alojamiento ideal. Así que hemos reducido a probar que la proposición en los casos en que se $R$ es un director ideal de dominio o a un director de anillo. El primer caso es bien conocido, y en un trivial especiales principal anillo de todos los ideales es un poder del único ideal maximal $\def\m{\mathfrak m}\m$, $\p=\m^k$ un generador de $\m$ da un nilpotent elemento de la integral de dominio $R/\p$, el cual debe ser cero, por lo $\p=\m$ como se desee. QED

Answer 1

Martin de Brandeburgo está a la derecha: por un anillo conmutativo $A$, $A[t]$ es uno de los principales ideales del anillo (en adelante, un "director de los anillos") iff $A$ es un producto finito de campos.

En la siguiente, todos los anillos será conmutativa.

Paso 0: Hacemos uso de la siguiente fácil hechos:

$\bullet$ Un producto finito de principal de los anillos es una de las principales anillo.

$\bullet$ Para cualquier anillos de $A_1$$A_2$,$(A_1 \times A_2)[t] \cong A_1[t] \times A_2[t]$.

$\bullet$ Para cualquier ideal $I$ en un anillo $R$, $R[t]/IR[t] \cong (R/I)[t]$.

Paso 1: Si $A[t]$ que es lo principal, así que es $A$. Por un teorema de Hungerford, $A$ es isomorfo a un producto finito de anillos de $\prod_{i=1}^r A_i$, cada uno de los cuales es un PID o un cociente de un PID. A continuación,$A[t] \cong \prod_{i=1}^r A_i[t]$. Cada una de las $A_i[t]$ tiene dimensión uno más de la dimensión de $A_i$, por lo que si hay es un PID factor, a continuación, $A[t]$ tiene dimensión $2$, contradicción. Así que nos quedamos con el caso de un producto finito de coeficientes de un PID. Por un Teorema del Resto Chino argumento que más se puede descomponer en un producto finito de coeficientes de Dvr, y por lo tanto reducimos el local siguiente caso:

Deje $A$ ser un DVR con uniformizer $\pi$. Si por alguna $n \in \mathbb{Z}^+$ el anillo de $B = A/\langle \pi^n \rangle[t] \cong A[t]/\langle \pi^n \rangle$ que es lo principal, a continuación,$n = 1$.

Paso 2: supongamos $n > 1$. La evidente cosa que hacer aquí es tratar de mostrar que el ideal (en $B$ natural correspondiente) $I = \langle \pi ,t \rangle$ no es principal. Este debe ser un elemental cálculo. Decidí reducir mi mismo para un fácil cálculo, sin embargo: si $I$ fueron las principales, entonces también lo sería su pushforward en el anillo cociente $B' = A[t]/\langle \pi,t \rangle^2$, y este cálculo es realmente fácil: supongamos $I = \langle p \rangle$. Luego hay $x,y \in B'$ con $px = \pi$, $py = t$. Podemos escribir

$p = p_0 + p_1 t$, $x = x_0 + x_1 t$, $y = y_0 + y_1 t$ con $p_i,x_i,y_i \in A$. Si se multiplica todo lo que considere las "valoraciones" de $p_i$, $x_i$, $y_i$ -- aquí puedo usar paréntesis porque estoy trabajando en un cociente con $\pi^2 = 0$, por lo que uno puede pensar en cada elemento como tener valoración $0$, $1$ o $\geq 2$ - a continuación, te veo en un par de líneas que esto no es posible.

$\newcommand{\mm}{\mathfrak{m}}$ Añadido: Aquí es un enfoque para el Paso 2 que evita cualquier cálculo. Considerar el ideal maximal $\mm = \langle \pi, t \rangle$$\tilde{B} = A[t]$. Esto, obviamente, tiene la altura, al menos,$2$, de manera Generalizada Principal Ideal Teorema (GPIT) no es la principal (y, de hecho, tiene la altura exactamente $2$). Considere la posibilidad de su imagen en la localización de la $C = \tilde{B}_\mm$: la altura no ha cambiado por lo que todavía requiere $2$ generadores. Por Nakayama, el Lema, el número mínimo de generadores de $\mm$ es igual al número mínimo de generadores de $\mm/\mm^2$, lo $\mm/\mm^2$ es de hecho un nonprincipal ideal en $C/\mm^2 = B'$.

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Comentarios: 1) tomar Nota de que terminé con un resultado más difícil que la de Zariski-Samuel que un director de anillo es un producto finito de PIDs y Artinian principal de los anillos. En particular, el resultado de Zarisk-Samuel es probado en mi álgebra conmutativa notas, pero Hungerford del Teorema es sólo dijo: la prueba utiliza el Cohen teoría de la estructura de local completa de los anillos, en los que no puedo tratar. Espero que esta va a ser una exageración.

2) Si sólo quería responder a la pregunta del título, hay maneras más fáciles de ir. Martin de Brandenburgo, la respuesta de los enlaces a una página web que ofrece un completo elemental de la prueba de que un director ideal anillo tiene dimensión a más de uno. A mi mente a pesar de que la mayoría de los naturales de la prueba de esto es simplemente para aplicar Krull Director de Ideal Teorema, lo que implica que un primer ideal de la altura de la $n$ en un Noetherian anillo requiere al menos $n$ generadores.

3) Si en la construcción anterior, podemos tomar nuestro DVR $A$$\mathbb{Z}_p$, entonces el anillo de $B' = A[t]/\langle p,t \rangle^2$ es un nonprincipal anillo de finito de orden $p^3$. Esta es mínima en el sentido de que un número finito de nonprincipal anillo debe tener un orden divisible por el cubo de algunos de los mejores.

4) tenga en cuenta que un anillo conmutativo es un producto finito de campos iff es un anillo semisimple: cada secuencia exacta corta de a $R$-los módulos se divide. Existe una prueba que utiliza este hecho?

Answer 2

Si $A$ es un producto finito de campos, a continuación, $A[x]$ es uno de los principales ideales del anillo. Creo que lo contrario también es.

Un director ideal anillo tiene dimensión $\leq 1$ (ver aquí, este es elemental). Si $A[x]$ es uno de los principales ideales del anillo, a continuación,$1 \geq \dim(A[x]) \geq \dim(A)+1$, por lo tanto $\dim(A)=0$. Además, $A$ es uno de los principales ideales del anillo (como cociente de $A[x]$), en particular noetherian. Es bien sabido que, a continuación, $A$ es artinian, y que $A$ es un producto finito de local artinian anillos. Pasando a uno de los factores, podemos suponer que la $A$ es local artinian anillo y tiene que demostrar que $A$ es un campo.

[... ser continuado más tarde, me tengo que ir ahora]

Answer 3

A continuación es una más general, la caracterización de los PIRs. Tenga en cuenta que el polinomio anillo de $\rm\:R[x]\:$ es el caso especial $\rm\:S \cong \Bbb N\:$ de la semigroup anillo R[S] se considera a continuación. El polinomio de Laurent anillo de $\rm\:R[x,x^{-1}]\:$ es el caso especial $\rm\:S\cong \Bbb Z.\:$ Ver este post para mucho más.

Teorema $\ \ $ TFAE para un semigroup anillo R[S], con unitaria anillo R, y distinto de cero de torsión libre de cancellative monoid S.

$\rm(1)\ \ $ R[S] es un PIR (Director de Ideal del Anillo)
$\rm(2)\ \ $ R[S] es un general ZPI-anillo (es decir, un Dedekind anillo, ver más abajo)
$(3)\ \ $ R[S] es una multiplicación de anillo (es decir, $\rm\ I \supset\ J \Rightarrow\ I\ |\ J\ $ de los ideales de la $\rm\:I,J\,)$
$(4)\ \ $ R es un número finito de suma directa de los campos, y $\rm\,S\,$ es isomorfo a $\,\mathbb Z\,$ o $\,\mathbb N\,$

Un general ZPI-ring es un anillode la teoría de la analogía de un Dedekind de dominio es decir, un anillo donde cada ideal es un producto finito de primer ideales. Un único anillo R es un general ZPI-ring $\iff$ R es un número finito de suma directa de de dominios de Dedekind y primaria especial de los anillos (aka SPIR = especial PIR) es decir, local PIRs con nilpotent max ideales. ZPI proviene del alemán la frase "Zerlegung en Primideale" = factorización en primos ideales. Los resultados clásicos en los dominios de Dedekind se extendieron a los anillos con divisores de cero por S. Mori alrededor de 1940, luego de K. Asano y, más recientemente, por el R. Gilmer. Ver Gilmer del libro "Conmutativa Semigroup Anillos" secciones de 18 años (y la sección 13 para el dominio de caso).

Answer 4

Supongo que las respuestas dadas muestran claramente que lo que quería mostrar ($A[X]$ principal anillo implica $A$ campo) es falsa, y dado que la deducción de la conclusión de la proposición parece bastante claro, la propuesta también debe ser falsa. De hecho es así: los dos primeros puntos en el Paso 0 de Pete L. Clark, para cualquier par de campos de $F,F'$ el anillo de $(F\times F')[X]$ tiene un primer ideal $(F\times\{0\})[X]$ que no es maximal.

En particular, el anillo de $\def\Z{\mathbf Z}(\Z/10\Z)[X]$ es uno de los principales ideales del anillo, mientras que $\Z/10\Z$ es, por supuesto, no es un campo. Más generalmente, $(\Z/n\Z)[X]$ proporciona un contraejemplo siempre $n$ es compuesto, sino en la plaza libre. A ver explícitamente que este es uno de los principales ideales del anillo, reducir un determinado ideal de $I\in(\Z/n\Z)[X]$ modulo cada factor primordial$~p$$~n$, encontramos un grado mínimo distinto de cero como elemento generador, o $0$ si el ideal se derrumba a $\{0\}$ modulo$~p$, después de aplicar el teorema del resto Chino por separado para los coeficientes de cada una de las $X^i$ a reconstruir un polinomio en $(\Z/n\Z)[X]$ que representa a todos aquellos generador de polinomios de una sola vez, lo que da un generador de $I$.

Entonces, ¿qué acerca de la prueba (que yo realmente creía en cuando lo escribí)? Es la mirada inocente condición de "cero", que fue pasado por alto en la prueba: el hecho de que $R_1\times\cdots\times I_k\times\cdots\times R_n$ es distinto de cero no implica que $I_k$ distinto de cero. Así que no hay reducción a la misma proposición para cada uno de los factores, y la prueba falla. De hecho, la proposición en sí misma falla tan pronto como hay al menos un PID factor y al menos otro factor no trivial de en el producto de los anillos.