Integral

Question

Estoy tring para evaluar

$$I=\int_0^2 \frac{\arctan x}{x^2+2x+2}dx$$

Mi primero fue el aviso de que

$$\frac{1}{x^2+2x+2}=\frac{1}{(x+1)^2+1}=\frac{d}{dx}\arctan(x+1)$$

Así que he integrado por partes con el fin de obtener

$$I=\arctan 2\arctan 3-\int_0^2\frac{\arctan(x+1)}{1+x^2}dx$$

Dejo $x=u+1$ pero cuando lo hago lo que me sale

$$I=\arctan 2\arctan 3+\int_{-1}^1\frac{\arctan(u)}{1+(1+u)^2}du =\arctan 2\arctan 3$$

Ahora, esto no está cerca de la aproximación dada por wolfram. Lo que he hecho mal y cómo resolver esto?

Answer 1

Una escuela primaria de la solución. Deje $I$ denotar la integral. Aplicar la sustitución de $x=\frac{2t}{t+\sqrt{5}}$ obtener

$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan\left(\frac{2t}{t+\sqrt{5}}\right)}{\sqrt{5}+4t+\sqrt{5}t^2} \, dt. \tag{1} $$

Sustituyendo $t \mapsto 1/t$, nos encontramos con que

$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan\left(\frac{2}{1+\sqrt{5} t}\right)}{\sqrt{5}+4t+\sqrt{5}t^2} \, dt. \tag{2} $$

Pero es fácil comprobar que

$$ \arctan\left(\frac{2t}{t+\sqrt{5}}\right) + \arctan\left(\frac{2}{1+\sqrt{5} t}\right) = \arctan(2) $$

se mantiene, ya sea mediante la utilización de la adición de la fórmula para arctan o por la diferenciación de la LHS, para comprobar que el lado izquierdo es constante y, a continuación, conectar $t=0$ para determinar el valor de la constante.

Por lo tanto, por un promedio de $(1)$$(2)$, obtenemos

$$ I = \frac{\arctan(2)}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{5}+4t+\sqrt{5}t^2} = \frac{\arctan(2)\arctan(1/2)}{2}. $$

Answer 2

Estoy de acuerdo con Sangchul Lee. Escribiendo $\arctan(x)$ $\text{Im}\,\log(1+ix)$ y mediante el uso de fracción parcial descomposición e integración por partes se obtiene

%#% $ De #% por otra parte, por las relaciones funcionales $$ \int_{0}^{2}\frac{\arctan(x)}{x^2+2x+2}\,dx = -\frac{\pi^2}{48}+\frac{1}{2}\arctan(2)\arctan\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{\log^2(5)}{8}+\frac{1}{2}\text{Re}\left[\text{Li}_2(i-2)+\text{Li}_2\left(\frac{i+2}{5}\right)\right].$ la línea de arriba simplifica en $\text{Li}_2$ $, que es la única opción razonable, ya que la integral dada es claramente muy cerca de una cuarta parte.