Así que, me dijeron que resolver la ecuación de $y' - y = x^2$ el uso de energía de la serie. Métodos normales me dicen que la solución es $y = c_{0}e^{x}-x^{2}-2x-2$, y esto puede ser verificado por enchufarlo. Sin embargo, estoy atascado en tratar de resolver esto con el poder de la serie.
Asumimos $y = \Sigma_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. Por lo tanto, $y' = \Sigma_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}$. Me conecte estas en la ecuación original.
$$\Sigma_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}-\Sigma_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=x^{2} \\ a_{1}x^{0}+2a_{2}x^{1}+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+\dots-a_{0}x^{0}-a_{1}x^{1}-a_{2}x^{2}-a_{3}x^{3}-\dots = x^{2}$$ Por la equiparación de poderes de $x$, encuentro las siguientes relaciones $$a_{1}-a_{0}=0 \\ 2a_{2}-a_{1}=0 \\ 3a_{3}-a_{2}=1 \\ 4a_{4}-a_{3}=0 \\ \vdots \\ na_{n}-a_{n-1}=0 $$ Así, puedo escribir los coeficientes como $$ a_{1}=a_{0}\\ a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{a_{0}}{2}\\ a_{3}=\frac{1}{3}+\frac{a_{2}}{3}=\frac{a_{0}}{6}+\frac{1}{3}\\ a_{4}=\frac{a_{0}}{24}+\frac{1}{12}\\ \vdots\\ a_{n}=\frac{a_{n}}{n!}+\frac{2}{n!} $$ La combinación de estos para formar $y$, me sale $$ $ y=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{a_{0}}{n!}x^{n}+\Sigma_{n=3}^{\infty}\frac{2}{n!}x^{n} $$ El primer bit me da $a_{0}e^{x}$ como se esperaba, pero no veo cómo extraer $-x-2x-2$ a partir de la segunda mitad.
Hay algo equivocado en mi planteamiento que conducen a una respuesta incorrecta, o me estoy perdiendo de algo en la manipulación de la alimentación de la serie?
