Estoy tratando de identificar una distribución que se me presentó como la "distribución Van Loon".

Question

El libro de mi profesor sobre Mediciones Eléctricas presenta 3 distribuciones que modelan la función de densidad de probabilidad del error que se espera que tenga una observación dado un conjunto de observaciones ya obtenidas.

Se trata de la distribución normal, la distribución "Van Loon" y la distribución de Laplace. El problema es que no puedo encontrar ninguna otra referencia a una distribución de Van Loon en Google y sospecho que mi profesor está utilizando un nombre menos conocido para una distribución por lo demás común.

La distribución es: $$\psi(\delta) = \frac{\alpha e^{\alpha \delta}}{(1+e^{\alpha \delta})^2}$$

¿Alguien ha visto antes esta distribución?

Answer 1

Esta es la distribución logística. \begin{align} \int_0^\delta \frac {\alpha e^{\alpha\eta}}{(1+ e^{\alpha\eta})^2} \,d\eta = \int_2^{1+e^{\alpha\delta}} \frac{du}{u^2} = \frac 1 2 - \frac 1 {1+e^{\alpha\delta}} \to \frac 1 2 \text{ as } \delta\to+\infty. \end{align} Como la densidad es una función par, como se puede comprobar con un poco de álgebra, tenemos $$ p=\int_{-\infty}^\delta \psi(\eta)\,d\eta = 1 - \frac 1 {1+e^{\alpha\delta}} = \frac 1 {1 + e^{-\alpha\delta}} = \text{a logistic function of }\delta. $$ De ello se deduce que $$ \delta = \frac 1 \alpha \log \frac p {1-p} = \frac 1 \alpha \operatorname{logit} p. $$ "Logit" se pronuncia convencionalmente con una "o larga" como en "barco" y una "g" suave que suena como la "j" de "jet", y el acento en la primera sílaba.

Busca en Google los términos "función logística" y "distribución logística".

Answer 2

Este parece ser el distribución logística con ubicación $\mu=0$ y escala $s = 1/\alpha$ . Como señala Michael Hardy en los comentarios, el PDF es simétrico [sobre $\mu$ ].