Plano euclidiano $\pi$ con todos los puntos rojos, verdes o azules

Question

En el plano euclidiano $\pi$ todos los puntos son rojos, verdes o azules. Demuestra que puedes seleccionar tres puntos $A$ , $B$ y $C$ desde el avión $\pi$ para que el triángulo $ABC$ cumple todas las condiciones siguientes:

1. Puntos $A,B,C$ tienen el mismo color.
2. Círculo circunscrito del triángulo $ABC$ tiene un diámetro de 1000.
3. Un ángulo del triángulo $ABC$ es 1000 veces mayor que uno de los dos restantes.

Es bastante fácil construir un triángulo que satisfaga (1) y (2): basta con dibujar un heptágono dentro de un círculo de diámetro 1000. Según Dirichlet, dicho heptágono debe tener al menos 3 vértices del mismo color, por lo que el triángulo que satisface (1) y (2) existe claramente. Pero el truco está en satisfacer la tercera condición al mismo tiempo. ¿Podemos extrapolar esta idea utilizando un polígono regular de 1000 o 2000 lados?

Answer 1

De hecho, esto resuelve el problema original:

Un ángulo del triángulo ABC es exactamente 1000 veces mayor que uno de los dos restantes

Me costó unos días darme cuenta de esto. No pretendo parecer inteligente respondiendo a mi propia pregunta. Pero obtuvo un número sólido de upvotes y obtuve una pista de un tipo familiarizado con Teorema de Van der Waerden .

Para cualquier número entero positivo dado $r$ y $k$ hay algún número $N$ tal que si los enteros $\{1, 2, ..., N\}$ están coloreados, cada uno con uno de $r$ diferentes colores, entonces hay al menos k enteros en progresión aritmética todos del mismo color.

El menor de estos números se llama número de Van der Waerden $W(r,k)$ .

Dibuja un círculo de diámetro $1000$ . Divida este círculo en al menos $N=W(3, 1002)$ segmentos iguales (se desconoce el número exacto pero definitivamente existe) y denotar los puntos de división con $M_i$ , $(i=1,2,...,N)$ . Los puntos divisorios pueden tener cualquiera de los $3$ colores especificados.

Según el teorema de Van der Waerden está garantizado que tendremos una progresión aritmética de $1002$ enteros que representan índices de puntos del mismo color:

$$A=M_k, B=M_{k+d}, M_{k+2d}, M_{k+3d}, ...,C=M_{k+1001d}$$

Como todos los puntos son equidistantes, el arco $\stackrel\frown{BC}$ es exactamente 1000 veces más largo que el arco $\stackrel\frown{AB}$ lo que significa que en el triángulo monocromático $ABC$ :

$$\angle A=1000\angle C$$

Según Wikipedia, el mejor límite superior para el número mínimo de puntos en este caso es:

$$W(3,1002) \leq 2^{2^{3^{2^{2^{1011}}}}}$$

Answer 2

Observación: Lo siguiente sólo funciona si la condición 3 se interpreta como

3. Un ángulo del triángulo ABC es al menos 1000 veces mayor que uno de los dos restantes

en lugar de

3. Un ángulo del triángulo ABC es exactamente 1000 veces mayor que uno de los dos restantes

Tendré que volver a la mesa de dibujo para la variante exacta.

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El problema se puede resolver con muchos más colores, siempre que el número de colores sea menor que la cardinalidad del continuo.

Dejemos que $\epsilon=\frac1{1002}\pi$ .

Elige cualquier círculo $\mathcal C$ de diámetro $1000$ alrededor de algún punto $O$ . En $\mathcal C$ elige un arco $\stackrel\frown {UV}$ de la longitud del arco $<\epsilon$ (gracias a Henning Mankolm por sugerir esta mejora). Como $\mathcal C$ tiene un número continuo de puntos y tenemos menos de un número continuo de colores, existe un color, digamos azul, tal que $\stackrel\frown {UV}$ tiene al menos tres puntos interiores azules $A,B,C$ (etiquetado para que $U,A,B,C,V$ es el orden de las agujas del reloj). A continuación, $\angle BAC=\frac12\angle BOC<\frac12\epsilon$ y de manera similar $\angle ACB<\frac12\epsilon$ Por lo tanto $$\angle CBA>\frac\pi2-\epsilon=1000\cdot\frac12\epsilon>1000\cdot\angle BAC$$

Answer 3

Bueno, como tú mismo dices, puedes dibujar cualquier heptágono dentro de ese círculo. ¿Qué ocurre si seis de los siete vértices están muy juntos?