Cómo probar $\text{Rank}(AB)\leq \min(\text{Rank}(A), \text{Rank}(B))$ ?

Question

Cómo probar $\text{Rank}(AB)\leq \min(\text{Rank}(A), \text{Rank}(B))$ ?

Answer 1

Pista: Demuestre que las filas de $AB$ son combinaciones lineales de filas de $B$ . Transponga esta pista.

Answer 2

Utilicé una forma de probar esto, que pensé que no era la más concisa, pero me parece muy intuitiva. La matriz $AB$ es en realidad una matriz que consiste en la combinación lineal de $A$ con $B$ los multiplicadores. Así que parece que... $$\boldsymbol{AB}=\begin{bmatrix} & & & \\ a_1 & a_2 & ... & a_n\\ & & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & & \\ b_1 & b_2 & ... & b_n\\ & & & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & & & \\ \boldsymbol{A}b_1 & \boldsymbol{A}b_2 & ... & \boldsymbol{A}b_n\\ & & & \end{bmatrix}$$ Supongamos que $B$ es singular, entonces cuando $B$ siendo los multiplicadores de $A$ se obtendrá naturalmente otra matriz singular de $AB$ . Del mismo modo, si $B$ es no singular, entonces $AB$ será no-singular. Por lo tanto, el $rank(AB) \leq rank(B)$ .

Entonces ahora si $A$ es singular, entonces claramente, no importa lo que $B$ es, el $rank(AB)\leq rank(A)$ . El $rank(AB)$ está inmediatamente limitado por el rango de $A$ a menos que el rango de $B$ es aún más pequeño.

Si se juntan estas dos ideas, el rango de $AB$ debe tener el rango de $A$ o $B$ lo que sea más pequeño. Por lo tanto, $rank(AB) \leq min(rank(A), rank(B))$ .

Espero que esto te ayude.

Answer 3

Ya que tenemos $\text{Col }AB \subseteq \text{Col }A$ y $\text{Row }AB \subseteq \text{Row }B$ Por lo tanto $\text{Rank }AB \leq \text{Rank }A$ y $\text{Rank }AB \leq \text{Rank }B$ , entonces el resultado es el siguiente.

Answer 4

Sabes que una transformación lineal no puede aumentar la dimensión de su dominio; es decir, si $T: V\rightarrow W$ es una transformación lineal, $$\dim(T(V))\le \dim(V).$$

Answer 5

Seguramente los vectores que están en el núcleo de $B$ también están en el núcleo de $AB$ . Los vectores que están en el núcleo de $A^T$ también están en el núcleo de $(AB)^T=B^TA^T$ por lo tanto con el hecho de que Rank( $A$ )=Rango( $A^T$ ) y el conocimiento de que el rango te da el tamaño del núcleo de una matriz has terminado.