¿Tienen ambas versiones (invariables y primarios) del teorema Fundamental de grupos de abelianos finitamente generados al mismo tiempo?

Question

Así que hay dos versiones del Teorema Fundamental para Finitely Generado Abelian Grupos (FTFGAG). Yo tome la siguiente a partir de Un Primer Curso de Álgebra Abstracta por Fraleigh. La primera es la siguiente:

FTFGAG 1: Cada finitely generado grupo abelian $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos en el formulario $$ G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{r_1}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_n^{r_n}} \times \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}$$ donde $p_i$ son primos (no necesariamente distintos) y $r_i$ son enteros positivos.

Pero también tenemos la segunda versión:

FTFGAG 2: Cada finitely generado grupo abelian $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos en el formulario $$ G \cong \mathbb{Z}_{m_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{m_r} \times \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}$$ donde $m_1 | m_2 | \cdots | m_r$.

Mi pregunta es si estos dos tienen en todo momento? Lo digo para $\mathbb{Z}_{20}$, tenemos $\mathbb{Z}_{20} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{10}$, aunque $10$ no es una potencia de un primo (aunque, por supuesto,$2|10$)?

También he visto las declaraciones de el Teorema del Resto Chino (CRT) que dicen que $\mathbb{Z}_{nm} \cong \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ si y sólo si $\gcd(n,m)=1$. Esto no se contradice $\mathbb{Z}_{20} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{10}$ desde arriba? O es el tratamiento de la $\mathbb{Z}_n$ $\mathbb{Z}_m$ como anillos en el CRT lo que hace que la situación es diferente? Supongo que lo que estoy preguntando en pocas palabras es: ¿por qué no la principal, y la invariante de las formas de la estructura de los teoremas de abelian grupos (y también los módulos a través de los Pid, etc) se contradicen unas a otras?

Muchas gracias por las respuestas.

---

Edit: por Lo que parece que no me vea esta pregunta que, básicamente, las respuestas de la mina. CRT nos da una forma de descomposición, pero FTFGAG sólo nos dice que algunos de descomposición es siempre posible. Así que para FTFGAG 1, $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5$ es suficiente, para FTFGAG 2, $\mathbb{Z}_{20}$ es suficiente, y para el CRT $\mathbb{Z}_{20} \cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_5$ obras.

Answer 1

Por su ejemplo, $\mathbb{Z}_{20}$,

• La primera descomposición da $\mathbb{Z}_{20}\simeq\mathbb{Z}_{2^2}\times\mathbb{Z}_5$.

• La segunda descomposición da $\mathbb{Z}_{20}\simeq\mathbb{Z}_{20}$. En otras palabras, este no romper el grupo abelian a todos.

• Usted puede notar que $\mathbb{Z}_{20}\not\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{10}$ desde $\mathbb{Z}_{20}$ tiene un elemento de orden $20$, mientras que el máximo orden de un elemento de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{10}$$10$.

La idea de las declaraciones es que es posible escribir en este formulario, no es que todos los productos de la forma son isomorfo al grupo dado.

Una más que interesante ejemplo podría ser dada por $$ \mathbb{Z}dimm_4\times\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_5. $$

• La primera descomposición da $$ \mathbb{Z}dimm_4\times\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_5\simeq \left(\mathbb{Z}_{2^2}\right)\times\left(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\right)\times\mathbb{Z}_5\simeq \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{2^2}\times\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_5. $$

• Por otro lado, la segunda descomposición da $$ \mathbb{Z}dimm_4\times\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_5\simeq\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{2^2\cdot 3\cdot 5}=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{60}. $$ El grupo de la derecha combina los más altos poderes de cada uno de los primos que aparecen en el completamente expandida producto de la primera descomposición, luego su forma de trabajo a través de la inducción.

Answer 2

Tienes razón sobre el Teorema chino del resto en verdad $\mathbb{Z}_{20} \not\cong \mathbb{Z}2 \times \mathbb{Z}{10}$. El problema con la aplicación de la versión 2 de esta manera es que la fila única determina el grupo. Por ejemplo $\mathbb{Z}_{20}$ rango 1, es que ya está escrito en esa forma (trivial)