¿Puede uno distinguir grupos por sus mapas de grupos abelianos?

Question

Dado un grupo finito $G$ $G$ determinado por su categoría de mapas de abelian grupos? Específicamente, podemos formar la categoría de $G_A$ "abelian puntos" de $G$ con objetos de pares $(A,\phi)$, $\phi:A\rightarrow G$ $A$ abelian, con morfismos $\xi:(A,\phi)\rightarrow (B,\psi)$ dado por morfismos de grupos de $\xi:B\rightarrow A$ tal que $\phi \circ \xi = \psi$.

Preguntas muy similares se han preguntado antes, pero centrado en los mapas de grupos cíclicos, y el (pequeño) contraejemplos dado por los otros análogos pregunta no tiene isomorfo categorías de abelian puntos.

Los siguientes son similares a las preguntas que se refieren a: Es un grupo finito determinada únicamente por las órdenes de sus elementos? Si sé que el orden de cada elemento en un grupo, sé que el grupo?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero esperemos que un buen punto de partida. Deje $G_1,G_2$ dos grupos y $\varphi\colon G_1 \to G_2$ un homomorphism. Vamos a decir $\varphi$ es bueno si en el semi-producto directo de $G_1 \rtimes_\varphi G_2$ elementos $x,y$ conmutar iff bien $x,y\in G_1$ o $x,y\in G_2$. En ese caso, cualquier homomorphism $A\to G_1\rtimes_\varphi G_2$ a partir de un grupo abelian tierras en $G_1$ o $G_2$. En otras palabras, si $\varphi$,$(G_1\rtimes_\varphi G_2)_A\cong (G_1/A)\times (G_2/A)$. En particular, si usted puede encontrar un buen par de torsión homomorphisms $\varphi_1,\varphi_2$, entonces la categoría invariante considera usted no será capaz de diferenciar entre el$G_1\rtimes_{\varphi_1} G_2$$G_1 \rtimes_{\varphi_2}G_2$. Si $\varphi_1,\varphi_2$ puede ser elegido para no producir isomorpihc semi-directa de los productos, entonces usted está listo. Esta última propiedad es fácil de lograr (en general, semi-directa de los productos en los mismos factores son altamente sensibles a la torsión homomorphism, incluso para grupos muy reducidos). Sospecho que asegurarse de que la torsión homomorphisms también son buenas es posible, aunque no tengo construcción de ahora.

Answer 2

Jajaja Considerar dos productos semidirecta $(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})^2\rtimes(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})$; donde el generador canónico de $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ actúa en el primer caso por el % de matriz $\begin{pmatrix}2 & 0\0 & 2\end{pmatrix}$y en el segundo caso $\begin{pmatrix}2 & 0\0 & 4\end{pmatrix}$. Claramente no son isomorfos, pero tienen el mismo "combinatoria" de subgrupos abelian: el único $7$-Sylow subgrupo (abelian elemental de orden $7^2$) y sus subgrupos y $7^2$ subgrupos de orden 3 y todas estas parejas intersección trivial.