También puede acercarse a su juego desde el "bottom up" (de inicio a fin y trabajar hacia atrás).
Para esta respuesta, me voy para el número de rondas hacia atrás, por lo que la ronda final que se pone a "1" está a la vuelta de 0, la penúltima ronda (que habría sido de 2, 3, o 4) es la ronda 1, y así sucesivamente. Esto tiene la ventaja de que podemos ver fácilmente lo que sucede asintóticamente, a medida que aumentan las rondas, y podemos ver cómo el juego se ve afectado por su duración (en todo caso).
Voy a usar ocasionalmente X(n) para significar el valor de X en la ronda n, por lo que X(0) = 1, pero no hay mucha ambigüedad en esta notación, porque en diferentes ocasiones vamos a necesitar para referirse a "cualquier valor posible en una ronda", "un valor específico en una ronda", "cualquier posible precursor de un valor de la ronda anterior", y así sucesivamente. Pero la notación suficientemente bueno para manejar la cuestión.
Algunas observaciones:
1. El juego es monótono - en cualquier juego, el valor en la ronda n+1 > el valor en la ronda n
Cualquiera que sea X(n) es, a su predecesor (si las hubiera) en la ronda n+1 era mayor. (X(n+1) >= 3.X(n) - 1 y X(n) >= 1)
2. Todos los valores posibles en la ronda n+1 >= todos los valores posibles en la ronda n, y específicamente, el valor mínimo en la ronda n+1 es exactamente uno mayor que el valor máximo en la ronda 'n'
El valor máximo en la ronda n (((3 + 1).3 + 1).3 + 1).3 + 1) ... ) n de veces, o 3^n + 3^(n-1) + 3^(n-2) + ... + 1. Recapitulación de la serie, este es [3^(n+1) + 1] / 2. Llamar a este Max(n).
El valor mínimo en la ronda n+1 (((3 - 1).3 - 1).3 - 1).3 - 1) ... ) n+1 de veces, o 3^(n+1) - 3^(n) - 3^(n-1) - 3^(n-2) - ... a - 1, que es el mismo que 3^(n+1) - [3^n + 3^(n-1) + 3^(n-2) + ... + 1], o 3^(n+1) - Max(n). Llaman a esto 'Min(n+1)'.
Así que Max(n) = [3^(n+1) + 1] / 2, y Min(n+1) = 3^(n+1) - Max(n) = [3^(n+1) - 1] / 2. Por lo tanto, también podemos ver que Min(n+1) = Max(n) + 1.
3. Los posibles valores de X(n) span 'N+', los números naturales > 0 (cada número natural > 0 es dentro de X(n) para algunos n)
Por la construcción. 1 es X(0), por definición, y cualquiera que sea el número natural X > 1 que empezar, de hecho monótonamente disminuir a 1 dentro de un número finito de rondas (n), y, por definición, todos los números que llegar a 1 en n las rondas se engloban dentro de X(n).
También tenga en cuenta que Min(n+1) = 1 + Max(n) desde arriba, que ayuda a confirmar este resultado indica que no existen "lagunas".
4. Cada ronda abarca un conjunto contiguo de números naturales > 0, y entre ellos, estos conjuntos también abarcan los números naturales > 0 de forma contigua: X(0)={1}, X(1)={2,3,4}, X(2)={5, ... , 13}, X(3)={14, ... , 40} y así sucesivamente
A partir de (3), cada número natural > 0 es dentro de X(n) para algunos n, y de (2) como Max(n) < Min(n+1) ningún número natural > 0 es en más de una X(n). Por lo tanto, cada número natural > 0 es dentro de exactamente un X(n) para algunos n.
Algebraicamente o mediante la contradicción que puede trivialmente ver las dos afirmaciones son verdaderas. Contradicción necesita menos matemáticos de diseño:
Supongamos que algunos X(n) no contiguos, entonces habría algún valor de B con Max(n) > B > > Min(n), pero donde B no estaba en X(n). A partir de (3), B debe estar en algún otro conjunto X(m), para algún m >= 0 y m <> n. Pero a partir de (2) B no puede ser en cualquier X(m) con m > n, porque Min(m) > Max(n) > B y del mismo modo B no puede ser en cualquier X(m) con m < n debido a que Max(m) < Min(n) < B. por lo tanto m no puede ser mayor o menor que n, que contradice la hipótesis. De modo que X(n) debe cubrir un conjunto contiguo de números.
También a partir de (2), Min(n+1) = Max(n) + 1, por lo que no puede ser "brechas" entre estos conjuntos, y tenemos X(0) = 1, por lo que no hay omisiones en la "gama baja". Por lo tanto, los conjuntos de sí mismos abarcan los números naturales > 0 de forma contigua.
5. Cada conjunto tiene un promedio de puntuación de cero
Cada miembro de X(n) se puede obtener por partida con X(0) = 1 y operativo n veces con X -> 3.X + {-1,0,1}. Vamos a representar las operaciones de forma individual. Por ejemplo: 7 X(2), y alcanzó así: ((X(0).3 - 1).3 + 1). Representan ese camino como <-1, +1>.
Entonces a partir de (4) podemos ver que cada valor que puede alcanzar en X(n) está representado por <[-1/0/+1], [-1/0/+1] ... > n de veces. Algebraicamente a partir de (2) y (3) o forma lógica de (4) contiene 3^n miembros, y la adición de sus puntuaciones tendríamos n de copias de cada uno de -1, 0 y +1, o un total de cero, por lo que la puntuación promedio (= total/ count) es también cero.
(Nota si procede: no hay ningún borde de los casos, porque esto también es cierto para el primer conjunto X(0), lo cual podría ser visto como 3^0 elecciones, aunque no estaba fija por definición)
6. Para cualquier n >= 0, las puntuaciones de todos los puntos de salida <= Max(n) promedio de cero
El conjunto de todos los puntos de partida X, con 1 <= X <= Max(n), es idéntica a la de la unión de los conjuntos completos X(0), X(1), X(2)... X(n), y (4) los números enteros de 1 <= X <= Max(n).
Pero a partir de (5) la puntuación total a través de todos los números dentro de cualquier conjunto completo X(i) es cero, por lo que la puntuación total para cualquier combinación de conjuntos completos también es cero, por lo tanto, por la misma lógica, como en (5), la puntuación media de todos los puntos de partida de X en el intervalo 1 <= X <= Max(n) también será cero para cualquier n >= 0.
Discusión:
Esto es lo más lejos que podemos ir sin considerar las distribuciones de probabilidad.
Si su elección es libre, la puntuación será de hecho el promedio de cero. Pero su elección de X es sesgada: usted no escoge arbitrariamente grande X con la misma probabilidad como el menor de los valores de X. Por ejemplo, es poco probable que alguna vez ha elegido a X como una >= 1000000 número de un dígito (>= 10^10^6) a pesar de todo, pero un número infinitesimal de números naturales son más grandes que esto. Incluso para "razonable" de los números de su elección puede ser inconscientemente sesgada y es muy raro para ser verdaderamente uniforme.
Así que hay una cierta distribución de probabilidad que dice qué tan probable es que usted elija cualquier valor dado de X.
Claramente, cómo usted elige a su X (la probabilidad de cualquier punto de partida) afectarán a los resultados, y por lo tanto la puntuación media.
(Comentario: la exclusión de 1 como punto de partida es la exclusión de un conjunto completo X(0), así que esto no cambia la puntuación media)
Por ejemplo, si usted eligió los números menores de 20 igualmente, pero nunca los números de >= 21, o de elegir los números de la forma 3^n + 1, la puntuación, serían claramente sesgada (podemos calcular la primera y es trivialmente -1 para el segundo).
Pero sin saber más acerca de su distribución y de las probabilidades de elección específica de puntos de partida, no podemos decir nada sobre la forma en que la distribución de los puntos de partida va a interactuar con la distribución de las puntuaciones dentro de cada grupo, y los límites de cada conjunto, y si/cómo cambia el resultado esperado de una manera o de otra.
Caso especial: el uniforme de la selección en algún desconocido intervalo [1, ..., N]
Este es probablemente el caso a que se refiere la pregunta, y tiene una respuesta general.
Desde los gráficos a continuación, podemos ver que las curvas son claramente sesgada en cada conjunto. Lo que significa que en cualquier intervalo de tiempo dado (2-4, 5 a 13, 14-40...), los puntajes más altos son siempre sesgada y siempre aparecen más a menudo en el inicio de la serie, y las puntuaciones negativas siempre son más frecuentes hacia el final de la serie. Podemos ver también cómo la puntuación media nunca está por debajo de cero, por lo que las puntuaciones negativas nunca de forma acumulativa superan a las positivas.
Así que hay dos casos de uniforme de la selección:
Caso 1: elija su X al azar en cualquier conjunto de estos conjuntos, o cualquier intervalo [1, ..., N] que termina en un conjunto de límites, o en los números naturales > 0 en general:
El promedio de la puntuación será cero.
Caso 2: en Cualquier otro caso de una distribución uniforme >= 1 >= 2:
Podemos asumir que hay un límite duro [1, ..., N], o que inconscientemente se limite a algunos intervalo [1, ..., N]. Sin embargo, el límite se establece, si es más de un centenar, es muy poco probable que sea un conjunto de límites.
Pero si usted elige un número de manera uniforme en un rango que no es el punto final de un conjunto completo, su rango se incluyen una serie de conjuntos completos + parte de un conjunto incompleto - y el conjunto incompleto tendrá más positiva que negativa de los puntajes debido a que los valores dentro del conjunto incompleto siempre excluye de la parte final (más puntuaciones negativas frecuente) y no desde el principio, la parte más positiva de las puntuaciones frecuente).
Por lo que el total de la puntuación promedio para algún valor > 0. Este es el caso si el límite inferior es 1 o 2 (o 5, o cualquier otra Min(n)).
También podemos ver en los gráficos o en forma algebraica que el puntaje promedio en cualquier intervalo es entre +0 y +0.5 para todos los uniformes de los intervalos [1, ..., N], por lo que este establece un límite superior como bien cualquier intervalo que usted elija [1, ..., N], el promedio nunca será >= 0.5 en el largo plazo.
Útil gráficos
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(La estructura de los datos es también una reminiscencia de la Blancmange curva, o una de sus curvas, ver fotos de w=1/2 y w=2/3 en ese enlace.)
