Encontrar la integral $I$.....parece un buen problema, que yo no era capaz de resolver ....ayuda por favor...
$$I=\lim_{n \to \infty} \int_0^1 {{1 + nx^2}\over{(1 + x^2)^n}} \log(2 + \cos(x/n))\,dx.$$
Respuestas
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tired
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Las principales contribuciones a la integral será desde el intervalo de $[0,1/\sqrt{n}]$. En esta región $ \cos(x/n)\approx 1$ y por lo tanto
$$ I_n\sim\log(3)\int_0^{1/\sqrt{n}}dx e^{-n\log(1+x^2)}(1+nx^2)\sim\log(3)\int_0^{1/\sqrt{n}}dx e^{-n x^2}(1+nx^2) $$
porque sólo estamos introduciendo un exponencialmente pequeño error, empujando los límites de integración, hasta el infinito (método de Laplace), llegamos a la
$$ I_n\sim\log(3)\int_0^{\infty}dx e^{-n x^2}(1+nx^2)=\log(3)\frac{3\sqrt{\pi}}{4\sqrt{n}} $$
y el límite es de $0$.
Tenga en cuenta que es importante mantener el $1$ $nx^2$ en el integrando debido a sus contribuciones resultan ser del mismo orden!
Dr. MV
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Tenga en cuenta que después de hacer cumplir la sustitución de $x\to x/\sqrt{n}$, tenemos
$$\begin{align} \left|\int_0^1 \frac{1+nx^2}{(1+x^2)^n}\log\left(2+\cos\left(\frac{x}{n}\right)\right)\,dx\right|&=\frac{1}{\sqrt{n}}\int_0^\sqrt{n} \frac{1+x^2}{(1+x^2/n)^n}\log\left(2+\cos\left(\frac{x}{n^{3/2}}\right)\right)\,dx\\\\ &\le \frac{\log(3)}{\sqrt{n}} \int_0^\infty \frac{1+x^2}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^n}\,dx \tag 1\\\\ &\le \frac{\log(3)}{\sqrt{n}} \int_0^\infty \frac{1+x^2}{\frac12 \left(1-\frac1n\right)x^4}\,dx \tag 2\\\\ &=\frac{8n\log(3)}{3(n-1)\sqrt{n}}\tag 3 \end{align}$$
donde hemos utilizado el hecho de que $\left(1+\frac {x^2}n\right)^n\ge 1+x^2+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{x^2}{n}\right)^2\ge \frac{1}{2}\left(1-\frac1n\right)x^4$ en lo que va de $(1)$$(2)$.
El lado derecho de la $(3)$ claramente se aproxima a cero como $n\to \infty$. Por lo tanto, el teorema del sándwich garantiza que la integral de interés se aproxima a cero también. Y hemos terminado!
