Sobre los morfismos del complejo de la cadena

Question

Lo siguiente me parece bastante obvio. Sin embargo, me gustaría tener otra opinión.

Supongamos que $(A_\bullet,d_A)$ y $(B_\bullet,d_B)$ son cmplejos de cadena, tales que $d_A$ es el diferencial trivial (es decir $(d_A)_k(a)=0$ para todos $k\in \mathbb{Z}$ y $a\in A_k$ ) y $d_B$ no es cero en ningún grado.

Entonces cualquier morfismo de complejos de cadena $f_\bullet:A_\bullet \to B_\bullet $ tiene que ser el morfismo cero.

En este momento me parece obvio.

Answer 1

Esto no es cierto. Consideremos el caso en el que $A_{\bullet}$ tiene una sola pieza no nula, digamos $A_0$ . Entonces para dar un morfismo $f_{\bullet}$ sólo tenemos que para dar un morfismo $A_0 \to B_0$ cuya imagen se encuentra en el núcleo de $d_{B,0}$ . Así que, a menos que $d_{B,0}$ es realmente inyectiva, puede haber mapas de este tipo no nulos (para una elección adecuada de $A_0$ ).

Answer 2

Para dar un ejemplo concreto basado en la respuesta de Matt E, considere los siguientes complejos de cadena $$(A_{\bullet}):\:\:\:\: \cdots \rightarrow 0 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \rightarrow 0 \rightarrow \cdots$$ y $$(B_{\bullet}):\:\:\:\:\cdots \rightarrow \mathbb{Z}_4 \stackrel{\times 2}{\rightarrow} \mathbb{Z}_4\stackrel{\times 2}{\rightarrow} \mathbb{Z}_4\rightarrow\cdots$$ y que $f\colon\mathbb{Z}_2\rightarrow\mathbb{Z}_4$ sea el $\times 2$ mapa también.

Tenemos $\mbox{im}\,f=\ker(\mathbb{Z}_4\stackrel{\times 2}{\rightarrow}\mathbb{Z}_4)$ por lo que todo se desplaza.