La secuencia $\{a_{n}\}$ satisface $a_{0}=1$ y $$a_{n+1}=\dfrac{8}{5}a_{n}+\dfrac{6}{5}\sqrt{4^n-a^2_{n}},n\ge 0$$
Encuentre el $a_{10}+a_{2014}$ .
Mi idea: desde $$5a_{n+1}-8a_{n}=6\sqrt{4^n-a^2_{n}},n\ge 0$$ así que $$25a^2_{n+1}-80a_{n+1}a_{n}+64a^2_{n}=36(4^n-a^2_{n})$$ $$\Longrightarrow 25a^2_{n+1}-80a_{n+1}a_{n}+100a^2_{n}=36\cdot 4^n\tag{1}$$ y $$25a^2_{n}-80a_{n}a_{n-1}+100a^2_{n-1}=36\cdot 4^{n-1}$$ $$\Longrightarrow 100a^2_{n}-320a_{n}a_{n-1}+400a^2_{n-1}=36\cdot 4^n\tag{2}$$ entonces $(1)-(2)$ tenemos $$25(a^2_{n+1}-16a^2_{n-1})=80a_{n}(a_{n+1}-4a_{n-1})$$ así que $$(a_{n+1}-4a_{n-1})(5a_{n+1}-16a_{n}+20a_{n-1})=0$$ así que $a_{n+1}=4a_{n-1}$ ,
o
$5a_{n+1}=16a_{n}-20a_{n-1}$
y me parece feo, pero me cayó muy feo.Tal vez tienen otros métodos, se dice puede encontrar el $a_{n}$ cerrar la forma. $$a_{n}=2^n\sin{x_{n}}?$$ .
Pero no puedo. Muchas gracias.
