Encontrar los límites de una función de varias variables

Question

¿Esto $$\lim_{x,y,z\to(0,0,0)}\frac{xy+2xz+yz}{{x^2+y^2+z^2}}$$ tiene un límite?

Mi respuesta a esto es Sea f(x,y,z)=$$\frac{xy+2xz+yz}{{x^2+y^2+z^2}}$$ a continuación, $$\lim_{x\to0}{f(x,0,0)}=\lim_{x\to0}\frac{0}{x^2}=0$$

$$\lim_{x\to0}{f(x,x,0)}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$

Desde este límite de dos no son la misma,$$\lim_{x,y,z\to(0,0,0)}\frac{xy+2xz+yz}{{x^2+y^2+z^2}}$$ no existe.

No estoy seguro de si esta justificación es suficiente o correcta.

Answer 1

A la luz de @Brian comentario, puede tomar la ruta de acceso siguiente:

$$r_{\alpha,\beta}(t)=(t,\alpha t,\beta t^2),~~~ \alpha,\beta\in \mathbb R$$

Answer 2

Recordando coordenadas esféricas

$$ x = \rho \cos(\theta)\sin(\phi),\, y=\rho \sin(\theta)\sin(\phi),\, z =\rho \cos(\phi), \quad 0\leq \theta \leq 2\pi,\, 0\leq \phi \leq \pi. $$

tenemos

$$ \frac{xy+2xz+yz}{{x^2+y^2+z^2}}= \cos(\theta)\sin(\theta)\sin^2(\phi)+2\cos(\theta)\sin(\phi)\cos(\phi)+ \sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\phi). $$

Ahora la expresión anterior se logra un número infinito de valores, dependiendo de lo $\theta$ $\phi$ lo que implica que el límite no existe.

Answer 3

Similar a su solución, con la geometría.
Consideremos el $(x,y)$-avión; a continuación,$f(x,y,0)=\frac{xy}{x^2+y^2}$. El límite

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y,0)$

puede ser resuelto usando coordenadas polares, es decir,$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$$r>0$$\theta\in[0,2\pi)$. Pero, a continuación,

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y,0)=\lim_{r\rightarrow 0} f(r\cos\theta, r\sin\theta)$,

con $f(r\cos\theta, r\sin\theta)=\cos(\theta)\sin(\theta)$. El límite anterior no existe ya que depende de la dirección (representado por una selección de $\theta$) elegimos para llegar a $(0,0,0)$.