Es la distributividad suficiente para definir la composición?

Question

Función de la Composición tiene la propiedad de distributividad:

$$(f\star g)\circ h = (f\circ h)\star(g\circ h)\;\forall f,g,\star \in\{+,-,\times,\div\}$$

Me preguntaba si estas propiedades de forma exclusiva definir la composición.

Intuitivamente, esto tiene sentido. Por ejemplo:

$$(x\mapsto x^2)\circ f = (I\times I)\circ f = I\circ f \times I\circ f = f^2$$

y un proceso similar podría ser definido para cualquier función.

Pero este trabajo cuando las funciones no pueden ser fácilmente definido en términos de primaria de las operaciones?

Answer 1

Su conjetura es malo. Deje $q\colon A\to A$ ser cualquier mapa y definir $f\odot g=f\circ q\circ g$. Entonces $$ (f\star g)\odot h=(f\star g)\circ (q\circ h)=f\circ(q\circ h)\star g\circ(q\circ h)=f\odot h\star g\odot h$$