Mostrando que $f(x) \leq 0$ en un intervalo de

Question

Deje $m \in (0,1)$$k \in \mathbb{N}$, y considerar la posibilidad de $$f(x) = \frac{1}{k^{m+1}} \frac{1-m}{2(m+1)} - \frac{1-m}{m}\frac{1}{k^m}x.$$

¿Hay alguna forma fácil de demostrar que $f(x) \leq 0$ al $x \in (\frac{1}{k}, k)$?

Puedo hacer esto por medio de gráficas, pero es doloroso!!

Answer 1

Desde $x>\frac{1}{k}$

$$f(x) < \frac{1}{k^{m+1}} \frac{1-m}{2m+2} - \frac{1-m}{m} \frac{1}{k^m} \frac{1}{k} \\ = \frac{\frac{1-m}{2m+2} - \frac{1-m}{m}}{k^{m+1}}$$

debido a $f$ está disminuyendo (tiene una pendiente negativa).

Ahora sólo tiene que demostrar que el numerador es negativo. Usted puede probar esto formalmente por la obtención de un denominador común en las grandes numerador. Intuitivamente debería ser cierto, ya que tienen el mismo (positivo) numeradores en la gran numerador, por lo que la primera fracción es menor que la segunda, ya que se tiene el denominador más grande.

Answer 2

Ha $f(x)=ax+b$.

Si $a<0$ $f(x)\le0$ siempre $x\ge\dfrac{-b}a$.

Si $a>0$ $f(x)\le0$ siempre $x\le\dfrac{-b}a$.

Answer 3

Esto es sólo el álgebra realmente. Vamos a hacer la expresión más apetecible.

$$f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{k^{m+1}}\frac{1-m}{m+1} - \frac{1}{k^m}\frac{1-m}{m}x$$

Desde $k > 0$ podemos multiplicar por $k^m$ sin afectar a la señal.

$$\frac{1}{2k}\frac{1-m}{m+1} - \frac{1-m}{m}x$$

Y $1-m > 0$, por lo que del mismo modo, usted puede cancelar este sin afectar a la señal.

$$\frac{1}{2k}\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m}x$$

Se puede demostrar que la expresión es el valor no positivo? Me gustaría multiplicar el denominador (que es positivo) siguiente.

Answer 4

Se puede simplificar: $$f(x) = \frac{1-m}{k^m}\left(\frac{1}{2k(m+1)} - \frac{x}{m}\right)$$ o $$f(x) = \frac{1-m}{k^m}\frac{m - 2k(m+1)x}{2km(m+1)}.$$ El primer término es siempre positivo, y así es el denominador del segundo término. Así que esto es negativo exactamente cuando $$2k(m+1)x > m$$ o $$x > \frac{1}{2k}\frac{m}{m+1}.$$

Desde $\frac 1 k > \frac 1 2 \frac{m}{m+1} \frac 1 k$, esto siempre se mantiene en el intervalo dado,$\left(\frac 1 k, k\right)$.